Оценка погрешности численного дифференцирования

Воспользуемся известной оценкой (3.9) погрешности интерполирования многочленом P_n (x):

R_n (z) = y (z) – P_n (z) = .

Отсюда погрешность численного дифференцирования r_n (x) равна:

r_n (x) = = + .

Напомним, что П_{n +1}(х) = (х – x ₀)(х – x ₁) ×…× (x – x_n). Для вычисления его производной воспользуемся логарифмированием. Имеем

ln(П_{n +1}(х)) = .

Продифференцируем обе части данного равенства:

=.

Отсюда =.

Вычислим значения остаточного члена в узлах x_i. Поскольку П _{n +1}(x_i) = 0, то второе слагаемое в формуле r_n (x) равно 0. Тогда при x = x ₀ получим

=

=+

+.

В первой дроби сократится (х ₀ – x ₀), останется

(х ₀ – x ₁) ×(х ₀ – x ₂) ×…× (x ₀– x_n) = (– h)×(– 2 h)×… (– nh) = (–1) ⁿ n!× hⁿ.

Остальные дроби обратятся в 0, т.к. в них есть несократимый множитель (х ₀ – x ₀). Т.е.

r_n (x ₀) = (–1) ⁿ × hⁿ ×.

Аналогично при x = x ₁ получим

(х ₁ – x ₀) ×(х ₁ – x ₂) ×…× (x ₁– x_n) = h (– h)×(– 2 h)×… (– (n –1) h) = (–1) ^{n –1} (n –1)!× hⁿ.

r_n (x ₁) = (–1) ^{n –1}× hⁿ ×.

И т.д. Для произвольного x = x_i имеем формулу:

r_n (x_i) = (–1) ^{n – i} × hⁿ ×. (4.3)

Воспользуемся формулой (4.3) для оценки погрешностей формул (4.2):

r ₂(x ₀) = ; r ₂(x ₁) = ; r ₂(x ₂) = . (4.4)

Здесь x _i – некоторые точки на (x ₀, x_n).

Как видим, результаты примера 4.1 соответствуют полученным формулам: погрешность r ₂(x ₁) действительно в 2 раза меньше остальных и имеет иной знак.

Дата добавления: 2014-01-07