Расчет электрического поля бесконечно длиной нити

Рассмотрим произвольную точку, расположенную в поле, которое создано равномерно заряженной бесконечно длинной нитью, на расстоянии r от нити (Рис.16).

Полный заряд на нити можно выразить уравнением , где - линейная плотность заряда, - длина нити. Воспользуемся теоремой Гаусса, чтобы определить напряженность электрического поля нити в произвольной точке.

Произвольную замкнутую поверхность выберем в виде цилиндра, ось которого расположим вдоль нити. Изобразим вектора напряженности поля и вектора внешних нормалей ко всем частям цилиндра. Запишем уравнение для расчета потока вектора напряженности через цилиндрическую поверхность:

(8.36)

Алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри цилиндрической поверхности, деленная на :

(8.37)

Согласно теореме Гаусса приравняем уравнения (8.35) и (8.36) и выразим напряженность поля равномерно заряженной бесконечно длинной нити:

(8.38)

Полученные результаты позволяют сформулировать вывод. Поле бесконечно длинной равномерно заряженной нити обратно пропорционально расстоянию точки от нити, т.е. поле нити неоднородное.

Чтобы закончить расчет поля нити необходимо определить во всех точках этого поля его потенциал. Воспользуемся тем, что характеристики поля, напряженность и потенциал, связаны между собой уравнением (8.11) -. Запишем это уравнение для одномерного случая и воспользуемся им, взяв неопределенный интеграл:

. (8.39)

Чтобы определить значение потенциала, необходимо выбрать начала отсчета потенциальной энергии. Ранее было сказано, что нулевое значение потенциальной энергии и потенциала удобно выбирать в бесконечности:

Когда , то и . Из уравнения (8.38) следует, что если , то Const = 0 и окончательно получаем:

(8.40)

Изобразим результаты расчета поля нити на графике (Рис.17).

Окончательно можно сказать, что поле бесконечно длинной нити неоднородно, оно имеет центральную симметрию. Если удаляться от нити вдоль любого радиуса, то картина будет повторяться - ~; ~.

Дата добавления: 2014-01-07