Теорема Штейнера

Нахождение момента инерции в рассматриваемых примерах значительно упрощалось потому, что тела были однородными и симметричными, а моменты инерции вычислялись относительно осей, проходящих через их центры инерции (центры масс). Вычисление момента инерции тела относительно произвольной оси также упрощается, если известен момент инерции тела относительно оси, которая параллельна данной и проходит через его центр инерции. Отметим, что ось, относительно которой вычисляется момент инерции, может находиться внутри тела или вне его.

Момент инерции тела относительно произвольной оси определяется при помощи теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, которая проходит через центр инерции параллельно данной, и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями.

Пусть ось проходит через центр инерции твердого тела, а ось – параллельно ей и находится на расстоянии (рис.7).

Рисунок 7

Введем перпендикулярный обеим осям вектор , который соединяет соответствующие точки осей A и С, лежащие в одной плоскости. Для любой перпендикулярной осям плоскости он имеет одинаковую величину. Положение элементарной массы относительно осей определяется радиусами-векторами и , причем

Вычислим момент инерции тела относительно оси

Раскрывая скобки и выполняя соответствующие преобразования, получим:

Первое слагаемое равно произведению массы тела и квадрата расстояния между осями , третье – моменту инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции:

Второе слагаемое

поскольку ось проходит через центр инерции, то .

Таким образом,

Как видно, теорема Штейнера сводит определение момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр инерции тела.

Например, момент инерции сплошного цилиндра радиусом и массой относительно оси, совпадающей с его образующей (рис.8, а),

	Рисунок 8, а

Момент инерции тонкого стержня массой и длиной относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его конец (рис.8, б),

	Рисунок 8, б

Дата добавления: 2014-01-07