Частные случаи общего уравнения плоскости

Лемма о параллельности вектора и плоскости.

Лемма 1 (о параллельности вектора и плоскости). Пусть в аффинной системе координат дана плоскость и вектор . Для того, чтобы вектор был параллелен плоскости , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие .

□ Чтобы доказать необходимость и достаточность этого условия, возьмем точку и отложим от нее вектор (рис. 68).

Пусть , тогда .

Из равенства векторов и следует равенство их соответственных координат:

. (24)

Так как , то

. (25)

Если , то , следовательно,

. (26)

Вычитаем почленно из уравнения (26) уравнение (25):

.

Применяя формулы (24), получаем:

.

Обратно, пусть имеет место условие . Тогда из формул (24) следует, что .

Сложив почленно последнее уравнение с уравнением (25), получим:

,

откуда следует, что . Поэтому , а так как , то . ■

Выясним особенности расположения плоскости относительно аффинной системы координат, если некоторые из коэффициентов в ее общем уравнении равны 0.

1. - верное равенство .

Обратно, пусть , тогда - верное равенство .

Итак, .

2. .

Возьмем вектор . Проверим выполнимость условия :

;

0=0.

Следовательно, по лемме о параллельности вектора и плоскости . Поэтому возможны два случая или . Учитывая, что , т.е. , получаем: .

Обратно, пусть , тогда . По лемме о параллельности вектора и плоскости .

Итак, .

Рассуждая аналогично, рассмотрите самостоятельно случаи 3 и 4:

3. .

4. .

5. Пусть и . Тогда из пункта 2 следует, что , т.е. или ; а из пункта 1 следует, что . Значит, .

Обратно, пусть . Тогда , т.е. (см. пункт 1). Кроме того, (см. пункт 2).

Итак, и .

В этом случае уравнение плоскости примет вид .

Рассуждая аналогично, рассмотрите самостоятельно случаи 6 и 7:

6. и .

7. и .

8. и . Тогда из пункта 2 следует, что ; а из пункта 3 следует, что. Таким образом,

и .

В этом случае уравнение примет вид или (где ).

Рассуждая аналогично, рассмотрите случаи 9 и 10:

9. и .

10. и .

Из пунктов 8 и 1 получаем случай

11. , и .

В этом случае уравнение плоскости будет иметь вид , т.е.

.

Из пунктов 9 и 1 получаем случай

12. , и .

Тогда уравнение будет иметь вид , т.е.

.

Из пунктов 10 и 1 получаем случай

13. , и .

Уравнение в этом случае имеет вид , т.е.

.

Задания для самостоятельной работы

1. Какие из векторов параллельны плоскости и почему?

2. Справедливы ли утверждения, доказанные в пунктах 1-13, если уравнение плоскости задано в прямоугольной декартовой системе координат и почему?

3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной плоскости: а) ; б) ; в) (пользуясь частными случаями общего уравнения плоскости).

4. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку и содержит: а) ось ; б) ось ; в) ось (пользуясь частными случаями общего уравнения плоскости).

§ 23. Основные аффинные задачи,

связанные с плоскостью (обзор)

1. Взаимное расположение двух плоскостей.

Выяснить взаимное расположение двух плоскостей позволяет следующая теорема:

Теорема 1. Пусть в аффинной системе координат плоскости и заданы общими уравнениями:

,

.

или ;

(коэффициенты при х, у, z пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны);

.

2. Взаимное расположение трех плоскостей.

Вопрос о взаимном расположении трех плоскостей , и сводится к исследованию вопроса о взаимном расположении трех пар плоскостей: и , и , и .

Возможны восемь случаев взаимного расположения этих плоскостей:

1) (рис. 69, а);

2) (рис. 69, б);

3) (рис. 69, в);

4) (следовательно, ) (рис. 69, г);

5) (следовательно, ) (рис. 69, д);

6) (рис. 69, е);

7) (рис. 69, ж);

8) (рис. 69, з).

3. Геометрический смысл знака многочлена .

Теорема 2. Если в аффинной системе координат плоскость задана уравнением , то два полупространства, на которые эта плоскость разбивает пространство, определяются условиями

и .

4. Пучок и связка плоскостей.

Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую . Прямая называется осью этого пучка.

Пусть . Тогда уравнение пучка плоскостей с осью имеет вид:

, где не равны нулю одновременно.

Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же точку . Точка называется центром связки.

Пусть . Тогда уравнение связки плоскостей имеет вид:

, где и не равны нулю одновременно.

Задания для самостоятельной работы

1. Пользуясь теоремой 1 из § 22, выведите уравнение плоскости, параллельной плоскости и проходящей через начало координат.

2. Найдите уравнение плоскости, параллельной плоскости и проходящей через точку .

3. В аффинной системе координат задана плоскость . Какая фигура определяется условием: а) ; б) ?

4. Верно ли утверждение, что плоскость пересекает отрезок , где , тогда и только тогда, когда и почему?

5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и содержащей линию пересечения плоскостей и .

Дата добавления: 2014-01-07