Некоторые задачи теории массового обслуживания

Системы массового обслуживания СМО − системы, предназначенные для многократного использования при решении однотипных задач. Каждая система состоит из определенного количества обслуживающих единиц − каналов.

Будем рассматривать многоканальные СМО с отказами (т.е. такие, в которых в случае занятости всех каналов заявка покидает систему необслуженной). Для них введем следующие показатели.

1. интенсивность потока заявок, т.е. среднее количество заявок, поступающих за единицу времени;

2. — абсолютная пропускная способность СМО, т.е. среднее число заявок, рассматриваемых в единицу времени.

3. — относительная пропускная способность, т.е. средняя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой.

4. — вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет систему необслуженной.

5. — среднее число занятых каналов для многоканальной системы.

6. — интенсивность обслуживания, т.е. количество заявок, обслуживаемых одним каналом за единицу времени.

7. — среднее время обслуживания, т.е. .

Итак, имеется каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживания каждого канала имеет интенсивность . Найдем предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система имеет следующие состояния , , , …, , …, , пронумерованные по числу заявок, находящихся в системе, т.е. — состояние системы, когда в ней находятся заявок (занято каналов).

Граф состояний соответствует процессу гибели и размножения.

Переход в соседнее состояние с большим номером всегда происходит под действием простейшего потока с интенсивностью , а вот переход из состояния в состояние происходит под действием потока интенсивности , так как освободиться может любой из занятых каналов.

Формула для предельной вероятности состояния примет вид

, (1)

где — так называемая интенсивность нагрузки канала, а

, , …, , …, . (2)

Найдем показатели эффективности СМО.

Вероятность отказа системы есть предельная вероятность того, что все каналов будут заняты, т.е.

.

Относительная пропускная способность — вероятность того, что заявка будет обслужена

.

Абсолютная пропускная способность

.

Среднее число занятых каналов , т.е. математическое ожидание числа занятых каналов

или иначе .

Далее разбирайте задачи к практическому занятию и используйте методички (см. список литературы).

Дата добавления: 2014-01-07