Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Понятие числовой последовательности

Теория последовательностей

Определение 1. Пусть каждому числу n натурального ряда чисел 1,2,3,...,n поставлено в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x_n (при этом может оказаться, что разным натуральным числам n ставятся в соответствие и одинаковые числа). Тогда множество занумерованных вещественных чисел

x₁, x₂,..., x_n,... (1)

называется числовой последовательностью или просто последовательностью. Каждое отдельное число x_n называется элементом или членом последовательности.

Сокращенно последовательность с элементами x_n будем обозначать{ x_n }.

Арифметические операции над числовыми последовательностями вводятся следующим образом.

Пусть даны две произвольные последовательности {x_n} и {y_n}.

Суммой, разностью, произведением и частным этих последовательностей называются соответственно последовательности:

{x_n+y_n}, {x_n-y_n}, {x_n y_n}, {x_n / y_n}.

При определении частного предполагается, что либо все y_n от 0, либо все y_n отличны от нуля начиная с некоторого номера. Тогда частное {x_n / y_n} определяется с этого номера.

Определение 1. Последовательность x_n называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое вещественное число M (число m), что все элементы последовательности {x_n} удовлетворяют неравенству

x_n £ М (x_n ³ m)

Число M(m) называется верхней (нижней) гранью последовательности {x_n}.

Замечание 1. Любая ограниченная сверху (снизу) последовательность {x_n} имеет бесчисленное множество верхних (нижних) граней.

Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной ({x_n}Îm), если она ограничена и сверху и снизу, т.е. если существуют такие вещественные числа M и m, что для каждого элемента последовательности x_n выполняются неравенства

m £ x_n £ M

Замечание 2. Пусть {x_n}Îm, и M и m- ее верхняя и нижняя грани, тогда, обозначая , имеем

| x_n | £ A для всех элементов последовательности

{ x_n }. Наоборот, если для всех элементов последовательности { x_n } выполнено неравенство

| x_n | £ A, то справедливы неравенства

-А £ x_n £ А. Таким образом, определение ограниченной последовательности можно сформулировать следующим образом:

Определение 3. Последовательность

{ x_n } называется неограниченной ({x_n}Ïm), если для любого положительного числа А найдется элемент x_n последовательности {x_n}, удовлетворяющий неравенству

| x_n |>А.

Дата добавления: 2014-01-07