Пример 2. Точки разрыва функции и их классификация

Точки разрыва функции и их классификация.

Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х = х₀ ─ точка разрыва функции у = f(x), то в ней выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности функции, а именно:

1) Функция определена в окрестности точки х₀, но не определена в самой точке х₀.

Например, функция у = не определена в точке х₀ = 2.

2) Функция определена в точке х₀ и её окрестности, но не существует предела f(x) при

х→х₀.

Например, Функция f(x) = определена в точке х₀ = 2, однако в точке х₀=2 имеет разрыв т.к. эта функция не имеет предела при х→2: f(x)=1, а f(x)=0.

3) Функция определена в точке х₀ и её окрестности, существует f(x), но этот предел не

равен значению функции в точке х₀: f(x)≠f(x₀).

Например, функция f(x) =

Здесь х₀ = 0 ─ точка разрыва: f(x)=1, а f(x₀)=2.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции у = f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, т.е. f(x)=A₁ и f(x)=A₂. При этом

а) если А₁ = А₂, то х₀ ─ точка устранённого разрыва.

б) если А₁ ≠ А₂, то х₀ ─ точка конечного разрыва.

Величина │А₁−А₂│ называется скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции у = f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 1. у = , х₀ = 2 ─ точка разрыва второго рода.

f(x) = х₀ = 0 ─ точка разрыва первого рода, скачёк функции равен 1.

Дата добавления: 2014-01-07