Метод наименьших квадратов. На практике при решении экономических задач зависимость между переменными и представляется в виде набора значений и соответствующих значений

На практике при решении экономических задач зависимость между переменными и представляется в виде набора значений и соответствующих значений . Эти значения изображаются точками плоскости с координатами . Ломаная линия, соединяющая эти точки, называются экспериментальной кривой (Рис.21.4).

Однако исследование характера и свойств зависимости между и лучше производить имея аналитическое задание этой зависимости , наиболее точно описывающей экспериментальные данные, определяется экономическими или иными соображениями. В качестве таких функций используются следующие:

1) ─ линейная функция;

2) ─ параболическая функция;

3) ─ гиперболическая функция;

4) ─ показательная функция;

5) ─ экспоненциальная функция.

Выбранная для приближения функция называется теоретической. После выбора вида функции надо найти значения определяющих её параметров таким образом, чтобы отклонения значений функции от экспериментальных значений были минимальными. Минимизацию отклонений обычно проводят, находя минимум суммы квадратов отклонений S = , где = ─ отклонения теоретических значений функции от экспериментальных.

Общий метод наименьших квадратов для нахождения параметров на примере линейной функции: . Для этой функции коэффициенты и находят из системы уравнений:

Решения этой системы дают минимум функции S = S, а сама система называется системой нормальных уравнений. Эта система линейная относительно неизвестных ,и её определитель

Следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:

; .

Таким образом, наилучшим линейным приближением экспериментальной кривой по методу наименьших квадратов является прямая , где ─ решение системы нормальных уравнений.

Пример. Зависимость между прибылью предприятия Y (тыс. у.е.) и стоимостью основных фондов X (тыс. у.е.) задаётся таблицей

X
Y

Для выяснения вида теоретической зависимости построим график экспериментальной кривой (Рис.21.5).

По виду экспериментальной кривой можно предположить, что теоретическая зависимость является линейной .

Тогда = 560, = 276, = 47600, = 23640.

По формулам

,

=0,557,

= - 5,143

Таким образом, теоретическая зависимость имеет вид

.

Замечание. Если в качестве теоретической зависимости выбрана зависимость, отличная от линейной, то из условия , находят соответствующую систему нормальных уравнений и решают её.

Дата добавления: 2014-01-07