N – мерного пространства

Преобразование координат при преобразовании базиса

1. Прямое и обратное преобразование базисов. Пустьи - два произвольных базиса линейного пространства . Как всякий элемент пространствакаждый вектор может быть разложен по базису . Предположим, что элементы выражаются через с помощью формул

или , где A = , ,

Это означает, что переход от базиса к базису задается матрицей A.

Матрица A, столбцы которой составлены из координат векторов ново­го базиса относительно старого базиса, называется матрицей преобразования координат вектора при переходе от исходного базиса B к новому базису . Эта матрица невырожденная. Определитель матрицы A отличен от нуля, так как в противном случае строки этой матрицы оказались бы линейно зависимы.

Обратный переход осуществим с помощью обратной матрицы , которая существует, так как определитель матрицы A отличен от нуля

2. Связь между преобразованием базисов и преобразование соответствующих координат векторов.

Пусть базис преобразуется в базис с помощью невырожденной матрицы A, а обратное преобразование матрицей .

Пусть x произвольный вектор рассматриваемого линейного пространства , - его координаты относительно базиса B =, - его координаты относительно другого базиса = , так что

x = = = =

=.

Отсюда в силу единственности разложения по базису вытекают формулы перехода от координат к координатам

Обозначим . Тогда в матричной форме

.

Вывод: если переход от первого базиса ко второму происходит с помощью матрицы , то координаты выражаются через с помощью матрицы A, а координаты выражаются через координаты с помощью матрицы .

Пример. Вывести формулу преобразования декартовых координат точки при переходе в новую систему координат на плоскости.

Решение. Даны две прямоугольные декартовы системы координат и .

Пусть (см. рис.7.1). Составим матрицу C перехода . Первый столбец состоит из координат вектора в базисе, второй столбец из координат вектора . Полагая и , получим ,

Рис.7.1

.

Если , то происходит поворот системы координат на угол , тогда

.

Если = 0, то происходит параллельный перенос на вектор

2. Пусть (см. рис.7.2). Составим матрицу A перехода .

Полагая и , получим ,

Рис.7.2

Дата добавления: 2014-01-15