Теорема Бернулли

Эта теорема устанавливает устойчивость частоты при многократных испытаниях.

Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события постоянна и – число испытаний, в которых появилось событие , то

. (25)

Доказательство.

Обозначим через случайную величину – число появлений события в первом испытании, через случайную величину – число появлений события во втором испытании, …, через случайную величину – число появлений события в - м испытании. Каждая из СВ может принимать только два значения 1 с вероятностью и 0 с вероятностью .

Применим к таким С.В. теорему Чебышева. Для этого нужно, чтобы эти С.В. были попарно независимы и дисперсии их должны быть ограниченными. Попарная независимость этих величин следует из независимости испытаний. Математическое ожидание каждой С.В. равно =, так как ее ряд распределения

Значения случайной величины
Вероятности

. Следовательно, дисперсия .

Произведение двух множителей, имеющих заданную сумму наибольшее, если эти множители равны. Следовательно, дисперсия каждой С.В. ограничена. Поэтому на основании теоремы Чебышева

., где .

Каждая из С.В. принимает либо 0, либо 1, поэтому их сумма равна числу появлений события A в серии из испытаний. Поэтому

.

Это означает, что при неограниченном возрастании числа испытаний частота появления события А сходится по вероятности к его вероятности.

Дата добавления: 2014-01-15