Тема: Механічна робота і потужність. Консервативні сили. Потенціальна енергія тіла в силовому полі

Лекція № 6.

Нехай під дією сили частинка здійснила переміщення по деякій траєкторії 1–2. Будемо вважати в межах переміщення силу сталою.

Елементарною роботою сили по переміщенню називається фізична величина, яка дорівнює скалярному добутку сили на переміщення :

або ,

де a – кут між векторами і . Робота – величина алгебраїчна, у залежності від кута a вона може приймати позитивне значення, негативне або дорівнюватиме нулю. Механічна робота на всій ділянці 1–2, визначається як інтеграл від dА по всьому шляху:

.

Одиниці виміру механічної роботи в системі СІ: .

Геометрична інтерпретація механічної роботи: Розглянемо графік проекції сили на напрямок як функцію положення частинки на траєкторії. З малюнка випливає, що елементарна робота dА чисельно дорівнює площі заштрихованої смужки, а робота А на шляху від точки 1 до точки 2 – площі фігури, обмеженої кривою, ординатами 1 і 2 і віссю s. При цьому площа фігури над віссю s береться зі знаком плюс (вона відповідає позитивній роботі), а площа фігури під віссю s – зі знаком мінус (вона відповідає негативній роботі).

Робота пружної сили.

Згідно закону Гука , де – радіус–вектор частинки М відносно точки О. Перемістимо частинку М, на яку діє ця сила, по довільній траєкторії з точки 1 у точку 2. Елементарна робота на цьому шляху визначається за формулою:

Скалярний добуток , де – проекція вектора на напрямок . Але (збільшення модуля радіуса-вектора ). У підсумку одержуємо: . Повна робота при переміщенні з 1 у 2:

або .

Робота однорідної сили тяжіння.

Запишемо силу тяжіння у вигляді , де – орт вертикальної осі Z, спрямованої нагору. Елементарна робота сили тяжіння по переміщенню :

Скалярний добуток , де – проекція на орт k, яка дорівнює dz – збільшенню координати z. Тому і

Робота даної сили на всьому шляху від точки 1 до точки 2:

Робота гравітаційної сили.

Нехай точка М знаходиться у гравітаційному полі, центр якого зосереджений у точці О. Знайдемо роботу гравітаційної сили при переміщенні точки з положення 1 у положення 2. У гравітаційному полі на точку М діє сила, що виражається з закону Всесвітнього тяжіння:

Елементарна робота цієї сили на переміщення :

.

Скалярний добуток , тобто дорівнює збільшенню модуля вектора , тому:

.

Повна робота цієї сили на всьому шляху від точки 1 до точки 2:

.

Як видно з формул, робота розглянутих сил не залежить від форми шляху між точками 1 і 2, а залежить тільки від положення цих точок, при цьому по замкнутій траєкторії робота дорівнює нулю. Сили, що володіють такими властивостями, називають консервативними, а поля, у яких діють ці сили – потенціальними. До неконсервативних сил відносять сили тертя й опору, робота яких залежить від пройденого шляху і по замкнутій траєкторії не дорівнює нулю.

Якщо на частинку в процесі руху діє кілька сил, то робота результуючої сили на деякому переміщенні дорівнює алгебраїчній сумі робіт окремих сил:

.

Потужність – це фізична величина, що характеризує швидкість виконання тілом механічної роботи. Вона дорівнює роботі, яку виконує тіло за одиницю часу. Якщо за час dt силою виконана робота dА, то потужність сили визначається з вираження:

.

Враховуючи, що , і , одержуємо формулу миттєвої потужності:

або .

Одиниці потужності в СІ: .

Поле центральних сил. Потенціальна і кінетична енергії.

Усяке силове поле виникає внаслідок дії деяких тіл. Сила, що діє на частинку в такому полі, обумовлена взаємодією цієї частинки з даними тілами. Сили, які залежать тільки від відстані між взаємодіючими частинками і спрямовані по прямій, що проходить через ці частинки, називають центральними. Центральну силу, що діє на частинку М з боку частинки О, можна представити у вигляді:

,

де f(r) – функція, що залежить при даному характері взаємодії тільки від r – відстані між частинками; – одиничний вектор, який задає напрямок радіус–вектора частинки М відносно частинки О. Центральні сили є консервативними, тобто їхня робота не залежить від шляху, а визначається тільки початковим і кінцевим положенням тіла. По замкнутій траєкторії робота консервативних сил дорівнює нулю. Можна припустити, що робота консервативних сил є функцією радіус–вектора точки:

.

Функцію U(r) називають потенціальною енергією частинки в даному полі. Знайдемо роботу сил поля при переміщенні частинки з точки 1 у точку 2. Оскільки робота не залежить від шляху, виберемо шлях, що проходить через точку О. Тоді робота на шляху 1О2 може бути представлена у виді: А₁₂ = А_1О + А_О2 = А_1О – А_2О, або з урахуванням потенціальної енергії:

А₁₂ = U₁ – U₂.

З останньої формули випливає, що робота консервативних сил на шляху 1 – 2 дорівнює збитку потенціальної енергії частинки в даному полі. Отримане вираження дозволяє знайти потенціальну енергію для будь–якого стаціонарного поля консервативних сил.

Потенціальна енергія сили пружності: .

Потенційна енергія однорідної сили тяжіння: .

Потенційна енергія гравітаційного поля: .

Установимо зв'язок між силою поля і потенціальною енергією. Відомо, що в поле потенціальних сил робота при переміщенні тіла дорівнює:

.

Остання формула відноситься і до елементарного переміщення :

.

Враховуючи, що , де – елементарний шлях, – проекція сили на напрямок , можна записати:

,

де dU – збиток потенціальної енергії в напрямку переміщення . З останнього виразу випливає:

,

тобто проекція сили поля в даній точці на напрямок переміщення дорівнює зі зворотним знаком похідної потенціальної енергії по даному напрямку. У проекціях на осі декартової системи координат можна записати:

.

Тоді сила в даній точці може бути визначена з вираження:

.

Після підстановок одержуємо: .

Величина в дужках називається градієнтом скалярної функції U і позначається grad U або , де (набла) означає символічний вектор, що визначається формулою: . Таким чином, зв'язок між силою поля і потенціальною енергією можна представити в наступній компактній формі:

,

тобто сила поля дорівнює зі знаком мінус градієнтові потенціальної енергії частинки в даній точці поля.

Дата добавления: 2014-01-11