Основные обозначения

МНОЖЕСТВА И ПОДМНОЖЕСТВА

Множество - одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех ее разделах.

Во многих вопросах приходится рассматривать некоторую совокупность элементов как единое целое. Так, биолог, изучая животный мир и растительный мир данной области, классифицирует все особи по видам, виды по родам и т.д.. Каждый вид является некоторой совокупностью живых существ, рассматриваемой как единое целое.

Для математического описания таких совокупностей и было введено понятие множества. По словам одного из создателей теории множеств -немецкого математика Георга Кантора (1845-1918), «множество есть многое, мыслимое нами как единое». Разумеется, эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такого определения не существует, поскольку понятие множества является исходным, на основе которого строятся остальные понятия математика. Но из этих слов ясно, что можно говорить о множестве натуральных чисел, множестве треугольников на плоскости.

Отдельные объекты, из которых состоит множество называются элементами множества. Общим обозначением множества служит пара фигурных скобок { }.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными, а остальные множества - бесконечными. Например, множество китов в океане конечно, а множество рациональных чисел бесконечно.

Для обозначения конкретных множеств используются различные прописные буквы A, S, X... или прописные буквы с индексами A₁, A₂. Для обозначения элементов множества в общем виде используются различные строчные буквы a, s, x... или строчные буквы с индексами a₁, a₂...

Пример:

A = { a, b, c}

Это обозначает, что множество А состоит из элементов a, b, c.

Для указания того, что некоторый элемент а является элементом множества S, используется символ Î принадлежности множеству.

Пример:

a Î S

Это означает, что элемент a принадлежит множеству S

x Ï S

Это означает, что элемент x не принадлежит множеству S

Для того чтобы оперировать с конкретными множествами, нужно уметь их задавать.

Существует два способа задания множеств: перечисление и описание. Задание множеств способом перечисления соответствует перечислению всех элементов, составляющих множество. Так, множество отличников группы можно задать, перечислив курсантов, которые учаться на отлично, например { Иванов, Петров, Сидоров}. Для сокращения записи X={x₁, x₂,...,x_n } иногда пишут X={x_i}₁ⁿ или вводят множество индексов I={1, 2,..., n} и пишут X={x_i}, i Î I. Такой способ удобен при рассмотрении конечных множеств, но иногда он может применяться и для задания бесконечных множеств, например {2, 4, 6, 8...}. Естественно, что такая запись применима, если вполне ясно, что понимается под многочленом.

Описательный способ задания множества состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества. Так, если M - множество курсантов группы, то множество А отличников этой группы запишется в виде

А={xÎM | x - отличник группы},

что читается следующим образом: множество А состоит из элементов х множества М, обладающих тем свойством, что х является отличником группы.

В тех случаях, когда не вызывает сомнений, из какого множества берутся элементы х, указание о принадлежности х множеству М можно не делать. При этом множество А запишется в виде

А={x | x - отличник группы},

Примеры

{x | x - четное } - множество четных чисел;

{x | x² - 1 = } - множество { +1, -1 }.

Пусть С - множество целых чисел. Тогда

{xÎC | 0 < x £ 7 } есть множество {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Важным понятием теории множеств является понятие пустого множества. Пустым множеством называют множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обозначается Æ

Пример { x ÎC | x² - x + 1 = 0 } = Æ

Понятие пустого множества играет важную роль при задании множеств с помощью описания. Так без понятия пустого множества мы не могли бы говорить о множестве отличников группы или множестве вещественных корней квадратного уравнения, не убедившись предварительно, есть ли вообще в данной группе отличники или имеет ли данное уравнение вещественные корни. Введение пустого множества позволяет совершенно спокойно оперировать с множеством отличников группы, не заботясь о том, есть или нет в рассматриваемой группе отличники. Пустое множество будем условно относить к конечным множествам.

Равенство множеств. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. представляют собой одно и то же множество. Множество X и Y не равны (Х ¹ Y), если либо в множестве Х есть элементы не принадлежащие Y, либо в множестве Y есть элементы, не принадлежащие Х. Символ равенства множеств обладает свойствами:

Х = Х - рефлексивность;

если Х = Y, то Y = X - симметричность

если Х = Y и Y = Z, то Х = Z - транзитивность.

Из определения равенства множеств вытекает, что порядок элементов в множестве несущественен. Так, например, множества {3, 4, 5, 6} и {4, 5, 6, 3} представляют собой одно и то же множество.

Из определения множества следует, что в нем е должно быть неразличимых элементов. Поэтому в множестве не может быть одинаковых элементов. Запись {2, 2, 3, 5} следует рассматривать как некорректную и заменить ее на {2, 3, 5}.

Дата добавления: 2014-01-20