Методы Эйлера и рунге-кутты решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Признаки постнеклассической науки в современных психологических исследованиях

Если неклассические основы теории Л. С. Выготского вызревали и формулировались как новые идеалы научности внутри самой психо­логии, то в конце XX в. развитие нового — постнеклассического — эта­па связано уже не только с развитием собственно психологических теорий, но и с общей логикой становления междисциплинарных иссле­дований, новых форм познания и новых типов теорий, влияния новых философских и культурологических направлений (как вызовов пост­модернизма), включения в научные исследования того, что было не­допустимым в прежнем, классическом идеале рациональности — субъек­тивности и субъектности, ценностей и неопределенности и т. д.

Тип научной рациональности, связываемый с постнеклассическим этапом развития науки, в психологии стал выражаться не только раз­витием междисциплинарных исследований, но и изменением понима­ния их статуса. Этот новый статус предполагает множественность пред­мета исследования, проблемно определяемого, а не замкнутого в рамках конструктов одной науки. Так, в статье Р. Стернберга и Е. Григоренко это выражено тезисом: «одна проблема» — комплексное исследование силами профессионалов разных наук.

Выделение в качестве отдельных областей психологии таких, как психология человеческого бытия, Da-Sein-анализ, т. е. переход к из­учению подлинно человеческих способов существования, означает перестановку акцентов в ходе развития психологического знания уже с собственно познавательной парадигмы в сторону парадигм экзистен­циальной и герменевтической. Именно позиция Хайдеггера рассмат­ривается как один из методологических вариантов выхода из кризиса (наряду с позицией С. Л. Рубинштейна) в психологии. Но постановка человека в центр картины мира не означает от­каза от философской идеи взаимосвязанности бытия и сознания. Так, согласно Хайдегеру, бытийные возможности человека «появляются все­гда только "снаружи" из конкретной исторической ситуации с ее воз­можностями поведения и выбора, с ее отношением к встречному....Вме­сто речи о возможностях как конститутивных моментах вот этого бытия лучше говорить об умении-быть, всегда в смысле умения-быть-в-мире».

Переосмысление предмета психологии (и соответствующей логики его изучения) — вторая сторона проблемы возврата психологии в реальный мир, что во многом объясняет новую волну интереса к обсуждению ее методологии. Отказ от постулирования одного предмета и метода, раз­деляемый всеми, — важный шаг в развитии постнеклассического этапа в психологии. Утверждение толерантности по отношению к разным ме­тодологиям — один из аспектов принятия идеи множественности пред­мета психологии и методов ее развития. Уважение других точек зрения и диалогичность (или «презумпция ума» по Мамардашвили) также пред­ставляются неотъемлемыми для культурно-аналитической парадигмы в психологии.

Другая тенденция современного этапа как постнеклассического — диф­ференциация научных проблем, которая приводит к синтезу фундамен­тальных и прикладных исследований, интеграции психологических под­ходов и методического арсенала психологии, развитию комплексных исследовательских программ. О новом этапе развития психологической науки свидетельствует и внимание к новым темам, отражающим ее вклю­ченность в происходящие в мире изменения. Это, например, исследова­ния толерантности, принятия решений, интуиции, смысловых образо­ваний, личностного развития, нового (сетевого) мышления — это все проблемы, которые предполагают выход за пределы «лабораторной пси­хологии», освоение психологией новых реалий изменяющегося мира, а точнее человека в нем.

В методологии психологии необходимость перехода к новым типам представления психологических знаний была осознана даже раньше и параллельно происходившему во многих направлениях развитию пси­хологических теорий. Это было связано с изменением понимания объек­тивности метода психологического исследования. В. П. Зинченко и М. К. Мамардашвили в своей статье 1977 г. стали говорить о субъектности как проявляющейся объективно и о реальности — психологической реальности — как объективно опосредствованной деятельностью и ин­дивидуальной психикой, а не данной некоторому идеальному «Наблю­дателю», «прозрачному», т. е. не изменяющему свойств объекта.

В. Ф. Петренко выделил следующее основание уже случившегося перехода науки к диалогичным формам познания: «...человек и челове­чество меняются и эвлюционируют в реальном времени со скоростью, сопоставимой с процессом познания познающего субъекта, что создает ситуацию, скорее, диалога познающего и познаваемого, в ходе которо­го... происходит взаимное влияние и изменение познаваемого и позна­ющего». Следующий критерий, который следует из обоснования «конструктивистской парадигмы в психологической науке», — влияние самой науки на мир. Теоретические конструкты стали не столько отражать наблюдаемые реалии, сколько воссоздавать реалии новые (будь то научная идея, миф или идея социального пере­устройства общества). Таким образом, не только культура влияет на раз­витие новых идей, но сами эти идеи, или «теоретические конструкции, предложенные мыслителями и учеными, будучи присвоенными куль­турой, общественным сознанием, становятся теми рельсами, по кото­рым движется история».

Следующее направление изменения картиной мира — это идея «кру­говой каузальности», включаемая не в контекст причинной детерми­нации психического (т. е. это не одно из пониманий психологической причинности), а в контекст определения самого бытия понятийным аппаратом и аксеологическим аспектом психологических теорий. Это также новый аспект обоснования той методологической терпимости, представление о которой ввел Фейерабенд.

Идея включения человека в исследовательские схемы и реализа­ция в них потенциальных возможностей человека (как его «опредме­чивания») стала основополагающей как для ряда психотехнических практик, так и для обращения психологов к таким методологическим концепциям, суть которых выходит за пределы собственно психологи­ческого познания. Изучая человека, психолог помогает ему осуществить­ся. Само же осуществление человека, реализация возможного в челове­ке, может пониматься по-разному.

Признак нового типа научности — это также трансформация иссле­довательских парадигм в связи с поисками компромисса между пони­манием специфики психологической причинности и методом, кото­рый должен удовлетворять двум взаимоисключающим требованиям: условиям причинного вывода, сформулированным применительно к естественно-научному эксперименту, и новому типу гипотез, предпо­лагающему опосредствованность психологической реальности (актив­ность как признак саморегуляции и т. д.). В этом направлении большую роль сыграло освоение психологами информационных технологий не только в качестве предмета изучения, но и в качестве средства изуче­ния преобразований самой психики.

Сознательное, а значит, критичное отношение к аксиологическому аспекту любого исследования — тот диапазон развития, который еще только намечается в современной психологии. Шаг от созерцания к кон­струированию миров психология уже сделала. Является ли целью познания как взаимодействия с миром его изменение — это уже соци­альный аспект оценки его преобразования.

Наконец, не менее важной, чем проблема метода, при анализе пер­спектив будущей психологии — в предполагаемом посткризисном про­странстве идей и теорий — выступит проблема соотнесения разноуров­невых ценностей в самой науке, неоправданно отождествляемая иногда с идеей ценностного отношения к человеку. Должен ли во главе систе­мы ценностей стоять человек с его возможностями и сущностными проявлениями или же основания человеческого бытия и сути челове­ческой психики необходимо искать вне человека, в расширении круга психологической реальности — эти вопросы еще только ставятся в со­временной методологии.

Ставится задача получения приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с заданными начальными условиями. Уделяется внимание различным способам вывода численного метода Эйлера, являющегося наиболее простым частным случаем нескольких групп численных процессов разной идеологии. Рассматриваются непосредственные модификации методов Эйлера; одна из таких модификаций, называемая исправленным методом Эйлера, приводит к семейству методов Рунге—Кутты второго порядка. Записывается общий вид формул Рунге-Кутты произвольного порядка, дается геометрическая интерпретация классического метода Рунге-Кутты четвертого порядка, обсуждаются вопросы пошагового контроля точности при реализации методов, приводится алгоритм Кутты-Мерсона, решающий проблему автоматического выбора расчетного шага при численном интегрировании поставленной начальной задачи с заданной точностью.

(7.1)-(7.2), называемой начальной задачей или задачей Коти, выполняются требования, обеспечивающие существование и единственность на отрезке [х₀, b] ее решения у = у(х) (такие требования можно найти в любом курсе дифференциальных уравнений или в соответствующем разделе курса высшей математики, см., например [66, 97, 98]). Более того, не оговаривая это отдельно, будем предполагать, что искомое решение обладает той или иной степенью гладкости, необходимой для построения и «законного» применения того или иного метода.

Несмотря на внешнюю простоту уравнения (7.1), решить его аналитически, т.е. найти общее решение у = у(х, С) с тем, чтобы затем выделить из него интегральную кривую у = у(х), проходящую через заданную точку (x0; у0), удается лишь для некоторых специальных типов таких уравнений, описание которых также можно" обнаружить, например, в упомянутых литературных источниках. Поэтому, как и в родственной для (7.1)-(7.2) задаче вычисления интегралов, приходится делать ставку на приближенные способы решения начальных задач для ОДУ, которые можно разделить на три группы:

1) приближенно-аналитические методы;

2) графические или машинно-графические методы;

3) численные методы.

К методам первой группы относят такие, которые позволяют находить приближение решения у(х) сразу в виде некоторой «хорошей» функции j (х). Например, широко известен метод степенных рядов, в одну из реализаций которого заложено представление искомой функции у(х) отрезком ряда Тейлора, где тейлоровские коэффициенты, содержащие производные высших порядков, находят последовательным дифференцированием самого уравнения (7.1) [36, 61 и др.]. Другим представителем этой группы методов является метод последовательных приближений, суть которого приведена чуть ниже.

Название графические методы говорит о приближенном представлении искомого решения у(х) на промежутке [х_о, b ] в виде графика, который можно строить по тем или иным правилам, связанным с графическим толкованием данной задачи. Физическая или, возможно, точнее будет сказать, электротехническая интерпретация начальных задач для определенных видов уравнений лежит в основе машинно-графических методов приближенного решения. Реализуя на физико-техническом уровне заданные электрические процессы, на экране осциллографа наблюдают поведение решений дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы. Изменение параметров уравнений приводит к адекватному изменению поведения решений, что положено в основу специализированных аналоговых вычислительных машин (АВМ).

Наконец, наиболее значимыми в настоящее время, характеризуемое бурным развитием и проникновением во все сферы человеческой деятельности цифровой вычислительной техники, являются численные методы решения дифференциальных уравнений, предполагающие получение числовой таблицы приближенных значений y_t искомого решения у(х) на некоторой сетке х_i Î [x₀, b] значений аргумента х. Этим способам и будет посвящено дальнейшее изложение. Что делать с получаемыми численными значениями решения, зависит от прикладной постановки задачи. Если речь идет о нахождении только значения у(b), тогда точка Ъ включается как конечная в систему расчетных точек xi, и все приближенные значения у_i» y(x_i), кроме последнего, участвуют лишь как промежуточные, т.е. не требуют ни запоминания, ни обработки. Если же нужно иметь приближенное решение у(х) в любой точке x, то для этого к получаемой числовой таблице значений y_i можно применить какой-либо из способов аппроксимации табличных функций, рассмотренных ранее, например, интерполяцию (гл. 1) или сплайн-интерполяцию (гл. 4). Возможны и другие использования численных данных о решении.

Коснемся одного приближенно-аналитического способа решения начальной задачи (7.1)—(7.2), в котором искомое решение у = у(х) в некоторой правой окрестности точки x₀ является пределом последовательности получаемых определенным образом функций у_п(х).

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (7.1) в границах от х₀ до х:

Дата добавления: 2014-01-20