Синтез управления при наличии ограничения на управление. Метод выделения неустойчивой координаты

Задача управления колебаниями маятника около верхнего положения равновесия. Синтез управления при наличии ограничения на управление. Построение области управляемости

Рассмотрим задачу об управлении колебаниями маятника. Модель маятника (рисунок 10) представляет собой твердое тело массы, закрепленное в неподвижной точке О. Момент инерции тела относительно т.О равен. Расстояние от оси вращения до центра масс т.С обозначим. Положение маятника будем определять углом между вертикалью и прямой ОС. Движение маятника происходит под действием сил тяжести и управляющего момента М. Модуль величины управляющего момента ограничен. Целью управления является стабилизация верхнего неустойчивого положения маятника.

Рис. 10 Модель маятника

Уравнение движения маятника под действием сил тяжести и управляющего момента имеет вид

При малых углах отклонения, вместо уравнения будет

Переходя в уравнении к безразмерному времени в соответствии с формулами

,

получим

Оглавление

,

или, разделив все члены уравнения на коэффициент при второй производной,

.

Выбирая в качестве нормализующего параметра значение

,

получим уравнение

Так как система со скалярным управлением, поведение которой описывается одним дифференциальным уравнением, согласно критерию Калмана, всегда управляема, то уравнение описывает управляемую систему.

Справа в уравнении стоит безразмерный управляющий параметр

.

Согласно заданному ограничению на величину действующего на маятник момента, управляющий параметр также ограничен

Таким образом, нам предстоит найти закон управления в задаче с ограниченным управлением и заданными начальными и конечными условиями

Заметим, что при отсутствии управления, при, уравнение имеет вид

.

Тривиальное решение уравнения

Оглавление

определяет верхнее положение равновесия и является седлом, неустойчивой особой точкой (смотри п. 6.1.4.) Корни характеристического уравнения равны, фазовые траектории седла приведены на рисунке 7.

Задача синтеза управления, стабилизирующего неустойчивое состояние равновесия, состоит в нахождении закона изменения управляющего момента в виде обратной связи по параметрам состояния. Ограничиваясь только линейной зависимостью, положим

Так как величина управляющего параметра ограничена, управление не может быть реализовано на всей плоскости, а только в той ее части, где. На плоскости эта область представляет собой полосу, ограниченную прямыми

.

Траектории внутри этой области удовлетворяют уравнению

положение равновесия будет асимптотически устойчивым, если

,

и представлять собой устойчивый фокус, (см. п. 6.1.2), если

или устойчивый узел (см. п. 6.1.5), если

.

Таким образом, внутри области, где реализуется управление в виде обратной связи по параметрам состояния, при соответствующем подборе коэффициентов фазовые траектории “притягиваются” особой точкой.

Определение

Областью притяжения называется область, в которой фазовые траектории асимптотически стремятся к положению равновесия.

Положение области притяжения на фазовой плоскости зависит от коэффициентов и.

На рисунке 11 для значений, построены фазовые траектории и показана область (она обозначена буквой В), в которой

Оглавление

может быть реализовано управление. Область В соответствует данному определению области притяжения. Цифрами 1 и 2 на рисунке обозначены ее границы.

Рис. 11 Фазовые траектории в области притяжения ()

При заданных значениях параметров начало координат представляет собой устойчивый фокус. Видно, что траектории не лежат целиком в области В, а выходят на границу. При попадании траектории на прямую 1 управление принимает значение, а на прямой 2 управление.

При попадании траектории на границу 2 области С и в дальнейшем уравнение принимает вид

.

Соответствующие фазовые траектории (рисунок 12 область С) представляют семейство гипербол с центром в точке и асимптотами

.

При выходе траекторий в область А уравнение движения становится

.

А фазовые траектории (рисунок 12) образуют семейство гипербол с центром в точке и асимптотами

Оглавление

Рис. 12 Фазовые траектории вне области притяжения ()

Если совместить плоскости 11 и 12, то получим фазовый портрет системы

,

Рис. 13 Фазовый портрет ()

Оглавление

Фазовый портрет системы приведен на рисунке 13. Анализ этого фазового портрета показывает, что стабилизировать положение равновесия маятника с помощью управления удается не при любых начальных условиях. Во-первых, в область притяжения В могут попасть не все траектории из областей А и С. Во-вторых, не все траектории, попадающие в область притяжения В, остаются в ней и стремятся к началу координат.

Таким образом, для того, чтобы управление вида давало решение задачи стабилизации, необходимо подобрать специальным образом значения коэффициентов и. Но и тогда задачу стабилизации можно решить не при всех начальных условиях.

Определение

Областью управляемости называется область начальных значений параметров состояния, для которых система управляема, то есть можно построить управление, переводящее систему из заданного начального положения в заданное конечное.

Область управляемости задачи представляет собой часть фазовой плоскости, ограниченную асимптотами семейств гипербол

,

то есть полосу

На рисунке 12 видно, что в случае, когда, границы 1 и 2 области притяжения параллельны границам области управляемости, и тогда область притяжения целиком лежит внутри области управляемости. В этом случае все фазовые траектории из области попадают в область притяжения. Никакие другие в область притяжения не попадают. Кроме того, при траектории из области притяжения не выходят. Последнее видно на рисунке 14.

Таким образом, решение поставленной в данном параграфе задачи возможно при значениях скорости и отклонения маятника, удовлетворяющих в начальный момент времени следующему условию

Оглавление

Управление, обеспечивающее стабилизацию неустойчивого положения равновесия, будет

.

На рисунке 14 показаны область управляемости, она ограничена прямыми 3 и 4, и область притяжения, она обозначена серым цветом. Графики на рисунке 14 построены для системы при значении. При уменьшении значения, область притяжения увеличивается.

Рис. 14 Область притяжения и область управляемости системы

()

Согласно поведение фазовых траекторий внутри области притяжения подчиняется уравнению. При значениях соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

его корни

Оглавление

действительны и отрицательны, а тривиальное решение системы представляет собой устойчивый узел.

При значении корни характеристического уравнения равны

,

и фазовые траектории в области притяжения имеют вид вырожденного устойчивого узла. Соответствующая картина приведена на рисунке 15. На нем цифрами 1,2 показаны границы области притяжения. Цифры 3,4,5 соответствуют фазовым траекториям, причем прямая 3-это асимптота.

Рис. 15 Траектории внутри области притяжения ()

Общая картина фазового портрета дана на рисунке 16. Границы области управляемости даны черным цветом, а границы области притяжения синим.

Оглавление

Рис. 16 Фазовый портрет системы ()

Способ решения задачи управления, предлагаемый в этом параграфе, основывается на наличии у характеристического уравнения неустойчивой в отсутствии управления системы, одного (не более) положительного корня.

Запишем уравнение в виде

,

где оператор дифференцирования по времени.

Введем переменную

.

Тогда из следует, что она удовлетворяет уравнению

Оглавление

.

При отсутствии управления переменная неустойчива.

Замечание

Если в системе со скалярным управлением существует только один положительный корень характеристического уравнения, то всегда может быть выделена одна, неустойчивая в отсутствии управления, координата.

Управление, целью которого является стабилизация положения равновесия, должно стабилизировать и неустойчивую координату в нуле.

Построим управление в виде обратной связи по неустойчивой координате. Возьмем кусочно-линейное управление с насыщением

Согласно выбранному закону управления в области, где

переменная изменяется в соответствии с уравнением

,

и асимптотическая устойчивость тривиального решения в области будет обеспечена при значении.

Следовательно, область притяжения определяется условием

.

Найдем теперь область управляемости. Заметим, что вся область притяжения является областью управляемости, так как попадая в нее, решения уравнения там и остаются. Допустим, что начальные условия не принадлежат области притяжения. Например

.

Тогда, согласно,, и решение уравнения имеет вид

Оглавление

В случае, если

,

решение может только возрастать или оставаться постоянным и, значит, оно уже не сможет попасть в область притяжения, где при. Для начальных условий переменная не может быть стабилизирована.

Пусть теперь удовлетворяют условию

.

Тогда, согласно,, и решение уравнения имеет вид

Если

решение может только убывать или оставаться постоянным и, значит, оно уже не попадет в область притяжения, где при. Для начальных условий переменная также не может быть стабилизирована.

Следовательно, задача стабилизации нулевого значения переменной может быть решена только при начальных условиях

,

или

,

или принадлежать области притяжения.

Иначе говоря, область управляемости для переменной определяется неравенством

Оглавление

Замечание

Область притяжения целиком лежит внутри области управляемости. Чем меньше величина коэффициента обратной связи, чем ближе он к 1, тем большую часть области управляемости занимает область притяжения. При они совпадают.

Согласно формулам замены область притяжения в координатах будет

.

Уравнение для переменной в области притяжения имеет вид

.

Корни характеристического уравнения будут равны

,

и, при значении, оба корня уравнения отрицательны. Положение равновесия будет иметь вид устойчивого узла (смотри п.6.1.5.)

Согласно формулам замены, область управляемости для переменных имеет вид

Сформулируем окончательный результат:

Неустойчивое положение равновесия, управляемой системы, может быть стабилизировано с помощью управления

при условии, что значения переменных состояния в начальный момент удовлетворяют неравенству.

Оглавление

Полученный здесь результат полностью совпадает с результатом предыдущего параграфа.

Дата добавления: 2014-01-20