Теорема 7

(Необходимое условие точки перегиба)

Пусть график функции у=¦(х) имеет перегиб в т. М₀ (;) и функция ¦(х) имеет в т. неперерывную вторую производную тогда .

Док-во: Предположим обратное, , тогда в силу непрерывности существует окрестность т. , в которой >0 или же <0, т.е. в которой сохраняет постоянный знак. Следовательно в указанной окрестности график сохраняет определённое направление выпуклости, что противоречит наличию перегиба в т. это полученное противоречие доказывает теорему.

Q. e. d.

Точки графика для которых будут называться критическими точками графика (но не функции).

Необходимо дополнительно исследовать вопрос о существовании перегиба в каждой критической точке.

Теорема 8

(Достаточное условие точки перегиба)

Пусть функция ¦(х) имеет на некоторой окрестности т. , тогда, если в указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от т. ,то график функции у=¦(х) имеет перегиб в т. М₀ (;)

Док-во:

Т.к. имеет разные знаки слева и справа от , то график функции у=¦(х) имеет слева и справа разный характер выпуклости, следовательно т. М₀ (;) –точка перегиба графика. Q. e. d.

Доказанная теорема остаётся верной, если ¦(х) имеет в некоторой окрестности т. , кроме самой точки и существует касательная в т. М₀ (;)

Док-во аналогично док-ву теоремы 8.

Т.о. вопрос об интервалах выпуклости, вогнутости и точках перегиба решаются с помощью второй производной.

Дата добавления: 2014-01-11