КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Производная и дифференциал длины дуги
Теорема Бесконечно малая выпуклая дуга эквивалентна стягивающей её хорде.. (1) Док-во: Т М’’ М’
М
МТ- касательная Из т. М радиусом, равным хорде ММ’ проведём окружность М’ М’’ – дуга окружности МТ – касательная к дуге ММ’ Рассмотрим неравенство: Разделив на ММ’, получим: (А) т.к. касательная МТ является предельным положением секущей, то, тогда, переходя в неравенстве (А) к пределу при , получим по теореме о промежуточной переменной равенство (1), т.е. эквивалентно . Q. e. d.
Рассмотрим теперь линию с уравнением у=у(х) (то самое, что у=¦(х)), где у=у(х) дифференцируемая функция. М’ у М
М0
х За положительное направление на линии примем то направление, в котором абсцисса х возрастает, т. М0 примем за начало отсчёта длин дуг, тогда всякая точка М будет иметь дуговую координату с определённым знаком, в зависимости от расположения т. М относительно М0. Очевидно: . Найдём производную и дифференциал этой функции. (2) по доказанной теореме , заменяя в (2) бесконечно малую дугу на эквивалентную ей хорду , получим: (3) отсюда дифференциал длины дуги будет: (4) (5) из формулы (5) ясен геометрический смысл дифференциала дуги, он равен отрезку касательной МР: P T ds dy M
Если линия, заданная параметрически , то выбирая за «+» направление такое, в котором возрастает параметр (тогда ), тогда будем иметь: (6). Формула (4) является частным случаем формулы (6), если за параметр взять абсциссу х, т.е. . Другой частный случай формулы(6) получается, если в качестве параметра взять полярный угол , т.е. задать линию в полярных координатах , причем:
, , вычисляя производные и и внося их в формулу (6) получим: (7)
у М(r;j) r
j
0 х
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 510; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |