Формула Тейлора

Достаточное условие строгой монотонности функции

Теорема 3. Пусть функция определена и дифференцирована на, () для, тогда строго монотонно возрастает (строго монотонно убывает) на.

Доказательство. Докажем теорему для случая для. Возьмем произвольно,. Функция на удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому, что

,

т.е. строго монотонно возрастает.

Пример. Рассмотрим функцию, определенную на. Поскольку, это функция строго монотонно возрастает на всем множестве действительных чисел.

Пусть функция дифференцирована в точке, тогда, как известно, в достаточно малой окрестности точки функция представляется в виде:

, когда. (1)

Сумма двух первых слагаемых в правой части (1) - это линейная функция, или иначе - это многочлен первой степени:. Тогда (1) можно записать как

, когда. (2)

Определение 2. Говорят, что функция раз дифференцирована в точке, если существует такая окрестность точки, в которой функция имеет все производные до порядка включительно и, кроме того, в точке существует.

ЗАДАЧА І. Пусть функция раз дифференцирована в точке. Существует ли такой многочлен степени, что имеет место соотношения, аналогичное (2):

, когда, (3)

и если он существует, надо его построить.

Лемма 1. Пусть функция раз дифференцирована в точке и

,

тогда, когда.

Теперь ЗАДАЧУ І можно переформулировать следующим образом.

Пусть функция раз дифференцирована в точке. Можно ли найти многочлен степени такой, чтобы выполнялись условия:

(4)

Если мы найдем такой многочлен, то функция будет удовлетворять всем условиям леммы 1:

и тогда

, когда,

откуда, когда.

Таким образом, многочлен, который удовлетворяет условиям (4), дает решение ЗАДАЧИ І.

Многочлен будем искать в виде:

.

Необходимо выбрать коэффициенты многочлена так, чтобы выполнялись условия (4). Пусть:

Таким образом, учитывая (4):

Таким образом искомый многочлен

. (5)

Многочлен (5) решает ЗАДАЧУ І и называется многочленом Тейлора для функции с центром в точке.

Мы доказали

Теорему 4. Пусть функция раз дифференцирована в точке, тогда имеет место соотношение:

, (6)

когда.

Формула (6) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Если в формуле (5), то соответствующий многочлен Тейлора называется многочленом Маклорена, а соответствующая формула (6) называется формулой Маклорена.

Теорема 5. Пусть функция раз дифференцирована в точке, тогда для нее существует единственный многочлен Тейлора с центром в точке.

Теорема 6 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Пусть функция имеет производную -го порядка, непрерывную на, и пусть существует конечная в, тогда такая, что

, (7)

где.

Формула (7) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Дата добавления: 2014-01-11