Формула Тейлора. 1. В каких случаях можно использовать правило Лопиталя?

План

Вопросы

1. В каких случаях можно использовать правило Лопиталя?

2. Что можно сказать о, если не существует?

3. Какая функция называется постоянной? Привести примеры постоянных функций.

4. Доказать критерий постоянства функции.

5. Какая функция называется монотонной, строго монотонной? Привести примеры монотонных функций.

6. Может ли функция одновременно быть монотонно возрастающей и монотонно убывающей? Привести примеры.

7. Доказать критерий монотонности функции.

8. Пусть функция строго монотонно убывает на. Что можно сказать о знаке ее производной на этом интервале? Почему?

9. Пусть на. Что можно сказать о монотонности функции?

10. Что означает, что функция раз дифференцирована в точке? Привести примеры таких функций.

11. Пусть функция раз дифференцирована в точке. Как она может быть представлена в достаточно малой окрестности?

12. Определение многочлена Тейлора, многочлена Маклорена.

13. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

14. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

1. Правило Лопіталя

2. Критерій сталості функції

3. Критерій монотонності диференційованої функції

4. Достатня умова строгої монотонності функції

1. Правило Лопіталя

Нехай функції і визначені і диференційовані на,,. Нехай

і,

чи

і,

тобто для маємо невизначеність типу чи, але при цьому існує

,

тоді існує і

.

Приклад. Обчислити. В цьому прикладі невизначеність типу, тобто застосовувати правило Лопіталя тут зразу не можна, але якщо виконати віднімання, то отримаємо:

,

і

.

Тепер можна спробувати застосувати правило Лопіталя. Позначимо функцію в чисельнику

,

функцію в знаменнику

.

Тоді

,,

а

Оскільки існує, то за правилом Лопіталя існує і подана границя

.

2. Критерій сталості функції

Функція, де, називається сталою функцією. Для сталої функції, яка визначена на деякій множині виконується умова: для:.

Теорема 1 (необхідна і достатня умова сталості функції). Нехай функція визначена і диференційована на. Для того, щоб була сталою на цьому інтервалі необхідно і достатньо, щоб

для.

Доказ. Необхідність. Нехай, де, тоді за правилами обчислення похідних:

для.

Достатність. Нехай для. Покажемо, що тоді, тобто, що для:. Якщо розглянути функцію на, то на цьому сегменті задовольняє всім умовам теореми Лагранжа, тому для неї має місце формула Лагранжа:

, де.

Оскільки для, то, а тому

.

3. Критерій монотонності диференційованої функції

Визначення 1. Нехай функція визначена на. Ця функція називається монотонно зростаючою (спадаючою) на, якщо для з того, що витікає, що (). Функція буде строго монотонно зростаючою (строго спадаючою) на, якщо для з того, що витікає, що ().

Приклад. Функція строго монотонно зростає на множині, строго монотонно спадає на множині.

Теорема 2 (необхідна і достатня умова монотонності функції). Нехай функція визначена і диференційована на. Для того, щоб монотонно зростала (спадала) на цьому інтервалі необхідно і достатньо, щоб

() для.

Доказ. Доведемо теорему для випадка монотонного зростання функції.

Необхідність. Нехай монотонно зростає на. Покажемо, що для. Візьмемо. Для обчислення похідної побудуємо різницеве відношення для в точці і пригадаємо, що оскільки існує в за умовою теореми, то. Враховуючи це:

,

що й потрібно було довести.

Достатність. Нехай для. Покажемо, що монотонно зростає на. Візьмемо довільно і так, що. Розглянемо функцію на сегменті. На цьому сегменті вона задовольняє всім умовам теореми Лагранжа, тому, що

,

що говоре про монотонне зростання функції на.

Зауваження. Якщо функція строго монотонно зростає на, з цього взагалі не витікає, що.

Приклад. Функція строго монотонно зростає на всій множині (за визначенням), оскільки більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції, але похідна і може дорівнювати нулю:.

4. Достатня умова строгої монотонності функції

Теорема 3. Нехай функція визначена і диференційована на, () для, тоді строго монотонно зростає (строго монотонно спадає) на.

Доказ. Доведемо теорему для випадка для. Візьмемо довільно,. Функція на задовольняє умовам теореми Лагранжа, тому, що

,

тобто строго монотонно зростає.

Приклад. Розглянемо функцію, визначену на. Оскільки, то функція строго монотонно зростає на всій множині дійсних чисел.

Дата добавления: 2014-01-11