Попередні відомості

1 Оптикою називається розділ фізики, що вивчає властивості й взаємодію з

речовиною світла, тобто електромагнітних хвиль, довжина яких лежить у межах від 1 до

10 5 нм, що охоплює ультрафіолетову, видиму й інфрачервону області спектра.

Світло є складним явищем: в одних випадках воно веде себе як електромагнітна хвиля, в інших – як потік особливих частинок (фотонів). Така властивість називається корпускулярно-хвильовим дуалізмом (корпускула – частинка, дуалізм – подвійність). У цьому розділі будемо розглядати хвильову оптику, тобто коло явищ, в основі яких лежить хвильова природа світла.

Довжина хвилі видимого світла знаходиться у межах

l0= 400 - 760 нм. (48.1)

Ультрафіолетовим називається випромінювання з довжиною хвилі, меншою за 400 нм, інфрачервоним – випромінювання з довжиною хвилі, більшою за 760 нм.

2 Відношення швидкості c світлової хвилі у вакуумі до фазової швидкості u в деякому середовищі називається абсолютним показником заломлення цього середовища й позначається буквою n:

n = c / u. (48.2)

Порівняння з формулою для швидкості електромагнітної хвилі дає, що n =

em. Для

переважної більшості прозорих речовин m практично не відрізняється від одиниці. Тому можна вважати, що

n = e. (48.3)

Ця формула зв'язує оптичні властивості речовини з його електричними властивостями.

Показник заломлення характеризує оптичну густину середовища. Середовище з більшим n називається оптично більш густим, ніж середовище з меншим n.

3 Значення довжин хвиль (48.1) належить до світлових хвиль у вакуумі. У речовині довжина світлових хвиль інша. У випадку коливань частоти n довжина хвилі у вакуумі

дорівнює

l0= c / n. У середовищі, у якому фазова швидкість світлової хвилі u = c / n, довжи-

на хвилі має значення

l = u / n = c /(n n) = l0/ n. Отже, довжина l світлової хвилі у середо-

вищі з показником заломлення n пов'язана з довжиною l0

хвилі у вакуумі співвідношенням

l = l0/ n. (48.4)

4 Найпростіші оптичні явища (виникнення тіні, отримання зображень в оптичних приладах тощо) можна зрозуміти з геометричної оптики. Геометрична оптика базується на

4 законах: 1) закон прямолінійного поширення світла; 2) закон незалежності світлових

променів; 3) закон відбиття; 4) закон заломлення.

Закон прямолінійного поширення стверджує, що в однорідному середовищі світло поширюється прямолінійно.

Закон незалежності світлових променів стверджує, що промені при перетинанні не

збурюють один одного. Перетинання променів не заважають кожному з них поширюватися незалежно один від одного.

Закон відбиття світла стверджує, що відбитий промінь лежить в одній площині з падаючим променем і нормаллю до відбивної поверхні у

точці падіння; кут відбивання a дорівнює куту падіння b (див. a b

рис. 48.1):

a = b.

Закон заломлення світла стверджує, що заломлений промінь лежить в одній площині з падаючим променем і нормаллю до поверхні

Рисунок 48.1

розділу середовищ, проведеною у точку падіння; відношення синуса кута падіння до синуса кута заломлення є величина стала для даних речовин (див. рис. 48.2):

sin a = n,

sin g 12

де n 12= n 2 / n 1

– відносний показник заломлення другого середовища

відносно першого.

5 Дія світла на людське око залежить від довжини (частоти) хвилі. a

Для характеристики світла з урахуванням його здатності викликати зорові n 1

відчуття вводяться фотометричні величини: світловий потік, освітленість, яскравість, сила світла.

.

6 В електромагнітній хвилі коливаються вектори E

.

та H. Дослід

показує, що фізіологічна, фотохімічна, фотоелектрична й інша дії світла n 2 викликаютьсяколиваннями електричного вектора. Відповідно до цього g говорять про світловий вектор, маючи на увазі вектор напруженості електричного поля.

Амплітуду світлового коливання ми будемо позначати, як правило,

Рисунок 48.2

буквою A (іноді

Em). Відповідно зміна у часі й просторі проекції світлового вектора на

напрям, уздовж якого він коливається, описується рівнянням

E = A cos(w t - kr + a). (48.5)

Тут k – хвильове число; r – відстань, яка відлічується вздовж напрямку поширення світлової хвилі. Для плоскої хвилі, що поширюється в непоглинаючому світло середовищі, A = const, для сферичної хвилі A зменшується як 1/ r.

7 Частота видимих світлових хвиль знаходиться у межах

n = (0,39 - 0,75)×1015

Гц. (48.6)

Частота зміни амплітуди, енергії світлової хвилі є дуже високою. Ні око, ні будь-який інший приймач світлової енергії не можуть прослідкувати за дуже швидкими змінами, внаслідок чого вони реєструють усереднений за часом потік енергії. Модуль середнього за часом значення густини потоку енергії, що переноситься світловою хвилею, називається інтенсивністю світла I у даній точці простору. Густина потоку електромагнітної енергії визначається вектором Пойтінга S. Отже,

...

I =|< S >|=|< [ E ´ H ] >|. (48.7)

..

Відомо, що модулі амплітуд векторів E і H

в електромагнітній хвилі пов'язані

співвідношенням Em

e0e = Hm

m0m = Hm

m0 (ми взяли m = 1). Звідси випливає, що

H m =

e Em

e0/ m0= nEm

e0/ m0,

де n – показник заломлення середовища, у якому поширюється хвиля. Таким чином, Hm

пропорційна Em

та n:

H m ~ nEm. Модуль середнього значення вектора Пойтінга

пропорційний

Em Hm. Тому можна вважати, що

m

I ~ nE 2 = nA 2. (48.8)

Отже, інтенсивність світла пропорційна квадрату амплітуди світлової хвилі й показнику заломлення середовища.

Інтерференція монохроматичного світла від двох джерел

8 Інтерференція світла – явище, в якому

1.

S

при накладанні пучків світла результуюча l 1 E інтенсивність не дорівнює сумі інтенсивностей 1. окремих пучків, має постійні у часі темні та n 1 E 2

світлі ділянки – інтерференційні максимуми та

мінімуми. n 2 P

З’ясуємо, за яких умов можливе явище l 2

інтерференції. S 2

Розглянемо випадок, коли два джерела S 1

Рисунок 48.3

та S 2

випромінюють монохроматичні хвилі (див.

рис. 48.3). У точці спостереження P кожна хвиля збуджує коливання, які описуються такими виразами:

..

E 1= Em 1cos[w1(t - l 1/ u1)+ a1], (48.9)

..

E 2= Em 2 cos[w2(t - l 2/ u2)+ a2]. (48.10)

Тут

w1, a1

та w2, a2

– відповідно частоти та початкові фази коливань джерел

S 1та

S 2; l 1

та l 2

– відстані, які проходять хвилі від своїх джерел до точки спостереження P;

u1та

u2–

їх фазові швидкості. Зрозуміло, що в точці P результуюче коливання світлового вектора буде дорівнювати

...

E = E 1+ E 2,

а результуюча інтенсивність визначається як

2.. 2. 2. 2..

I ~< E

>=< (E 1+ E 2)

>=< (E 1)

> + < (E 2)

> +2 < E 1× E 2>. (48.11)

..

Доданок

2 < E 1× E 2>

у (48.11) називається інтерференційним доданком. З (48.11)

випливає, що коли інтерференційний доданок дорівнює нулю, то результуюча інтенсивність

буде дорівнювати сумі інтенсивностей окремих світлових пучків, тобто явище інтерференції буде відсутнім.

Розглянемо більш детально інтерференційний доданок і з’ясуємо, за яких умов він не

дорівнює нулю. Використовуючи (48.9) та (48.10), неважко отримати

......

2 < E 1 × E 2>= 2 < Em 1 Em 2 cos[w1(t - l 1/ u1)+ a1]cos[w2(t - l 2 / u1)+ a2]>= Em 1 Em 2´

´ < ïì

é

os (w

+ w) t - ç

1 1 +

2 2 ÷ + a

ù

+ a + cos (w

- w) t - ç

1 1 -

2 2 ÷ + a

ùïü

- a >.

íc ê 1

æw l

2 ç

w l ö

÷ 1 2 ú

é

ê 1 2

æw l

ç

w l ö

÷ 1

2 úý

ï ë

è u1

u2 ø

û ë

(48.12)

è u1

u2 ø

ûïþ

Аналізуючи вираз (48.12), слід зазначити, щоб інтерференційний доданок був

...

відмінним від нуля, необхідно, по-перше, виконати умову

.

Em 1 Em 2 ¹ 0, тобто вектори

Em 1

та Em 2

не повинні бути перпендикулярними один до одного. По-друге, необхідно, щоб

різниця фаз хвиль була постійною у часі. Це можливо, як випливає з (48.12), коли частоти обох хвиль є однаковими і різниця початкових фаз хвиль не залежить від часу:

w1= w2

і a1- a2= const. (48.13)

Хвилі, для яких різниця фаз є постійною у часі, називають когерентними. Умова

(48.13) є умовою для когерентності хвиль.

9 Умови інтерференційного максимуму та мінімуму. Далі будемо вважати, що умови спостереження інтерференції є виконаними. З’ясуємо, за яких умов у точці спостереження P спостерігається максимум, а за яких – мінімум. З виразу (48.11) випливає, що коли інтерференційний доданок набуває максимального значення, то ми будемо спостерігати максимум, а коли мінімального – мінімум. Ураховуючи (48.13), для інтерференційного доданка можемо записати

..

2 < E 1× E 2>= Em 1 Em 2cos d, (48.14)

де різниця фаз хвиль визначається співвідношенням

d = [w1(t - l 1 / u1) + a1]

- [w2(t - l 2 / u2) + a 2 ][(w1- w2) t - (w1 l 1/ u1- w2 l 2/ u2) + a1 - a 2 ] =

= [(w l 2 / u2- w l 1/ u1) + a1- a 2 ]

.

. (48.15)

.

Тут ураховано, що згідно з (48.13)

w1= w2= w, вектори

Em 1

і Em 2

вважаємо паралельними.

Далі використаємо співвідношення для фазових швидкостей хвиль

u1= c / n 1

і u2= c / n 2,

початкові фази вважаємо такими, що дорівнюють нулю a1= a2= 0. Тоді можемо записати

æ l l ö 2

d = wç

2 - 1 ÷ = w (l n

- l n) =

p D, (48.16)

ç u u ÷

c 2 2 1 1 l

è 2 1 ø 0

де

D = n 2 l 2 - n 1 l 1= L 2- L 1

(48.17)

величина, що дорівнює різниці оптичних довжин оптичною різницею ходу.

n × l, які проходять хвилі, і називається

З формули (48.14) випливає, що максимум буде спостерігатися тоді, коли

d = ±2p m

(m = 0, 1, 2,...). (48.18)

У цьому випадку

cos d = 1, тобто набуває максимального значення. Коли ж

використати (48.16) та (48.17), то отримаємо, що максимум має місце, коли оптична різниця ходу дорівнює цілому числу довжин хвиль у вакуумі:

D = ± m l0

(m = 0, 1, 2,...). (48.19)

Таким чином, умови (48.18) і (48.19) є умовами інтерференційного максимуму.

Мінімальне значення інтерференційного доданка буде тоді, коли cos d = -1, тобто

d = ±(m +1/ 2)2p

(m = 0, 1, 2,...). (48.20)

Ця умова відповідає тому, що D дорівнює напівцілому числу довжин хвиль у вакуумі:

D = ±(m +1/ 2)l0

(m = 0, 1, 2,...). (48.21)

Отже, умови (48.20) та (48.21) є умовами інтерференційного мінімуму.

§ 49 Когерентність. Механізм випромінювання світла атомами. Час когерентності. Довжина когерентності. Радіус когерентності [5]

1 Як з’ясовано вище, необхідною умовою існування інтерференції є постійність у часі різниці фаз хвиль. Тобто частоти хвиль, які беруть участь у інтерференції, повинні бути однаковими, різниця початкових фаз хвиль не повинна залежати від часу.

Хвилі, для яких умова постійності у часі різниці фаз виконується називають

когерентними. Когерентністю називають узгоджене проходження декількох коливальних або хвильових процесів.

2 У природній світловій хвилі амплітуда, частота і початкова фаза за достатньо тривалий проміжок часу неперервно хаотично змінюються. Тобто різниця фаз набуває з

однаковою ймовірністю будь-яких значень. Тому інтерференційний доданок дорівнює нулю. Таким чином, природне світло є некогерентним й інтерференції не створює.

Причини некогерентності природного світла пов’язані з механізмом випромінювання

світла атомами. Атом випромінює світло протягом ~ 10-8

с, коли переходить із збудженого

стану в звичайний. За цей час створюється цуг хвилі довжиною ~ 3

м. Через деякий час атом

знову випромінює новий цуг світлової хвилі. Але початкова фаза нового цугу має випадкових характер і не пов’язана з фазою попереднього цугу. Також зрозуміло, що цуги,

які утворюються різними атомами, мають різні початкові фази. Таким чином, природне світло, яке створюється як різними цугами одного і того ж атома, так і різними цугами

різних атомів, є некогерентним.

3 Виберемо деяку точку і будемо спостерігати, як змінюються в ній початкові фази світлових хвиль. Зрозуміло, що фаза світлової хвилі, яка випромінюється одним атомом,

залишається незмінною лише у межах одного цугу. Розглянемо світло, яке створюється

багатьма атомами. Коли вибрати достатньо малий час спостереження, то може статися, що основна кількість цугів (від різних атомів) проходить через точку спостереження, не перериваючись і пам’ятаючи свої початкові фази. Тільки невелика кількість цугів змінює одна одну. За рахунок цього буде мати місце зміна результуючої початкової фази. Час, за який випадкова зміна фази досягає значення p, називають часом когерентності.

Розрахунок показує, що час когерентності визначається співвідношенням

tког = 1/ Dn,

де Dn

– інтервал частот світлової хвилі. Для сонячного світла час когерентності дорівнює

~ 10-12

с.

4 Відстань lког = ctког, на яку переміщується хвиля за час когерентності, називається

довжиною когерентності. Зрозуміло, що довжина когерентності дорівнює відстані між двома точками вздовж напрямку поширення світла, у яких випадкова зміна фази досягає

значення p. Для сонячного світла довжина когерентності дорівнює

~ 0,3 мм.

5 У світловій хвилі амплітуда та фаза коливань змінюються не тільки вздовж напрямку поширення, а й у площині, яка перпендикулярна до цього напрямку. Це пов’язано з тим, що різні ділянки джерела світла у поперечній площині випромінюють неузгоджено – з випадково змінною фазою. Випадкові зміни різниці фаз коливань у двох точках цієї площини

збільшуються з відстанню між ними. Відстань

r ког

між двома точками, що лежать у

площині, яка є перпендикулярною до напрямку поширення світла, у яких різниця фаз досягає значення порядку p, називається радіусом когерентності. Якщо джерело світла має форму диска, діаметр якого видно з даної точки спостереження під кутом j, то, як показують

розрахунки,

r ког ~ l / j,

де l – довжина хвилі. Для сонячного світла радіус когерентності має значення порядку

0,05 мм.

§ 50 Дослід Юнга. Ширина інтерференційних смуг [10]

1 Томас Юнг уперше в 1803 році спостерігав явище інтерференції світла, вперше визначив довжину світлової хвилі. Схема досліду зображена на рис. 50.1. Яскравий пучок світла від Сонця падав на екран з малою вузькою щілиною S. Світло від щілини S йшло до

другого екрана із двома вузькими щілинами

S 1і

S 2, які були розміщені одна відносно іншої

на відстані d. Перший екран з отвором S був призначений для збільшення радіуса

когерентності. Завдяки цьому, щілини

S 1і S 2

можна було розмістити одна відносно іншої

на відстані декількох міліметрів і світло від цих джерел залишалося когерентним. Джерела

S 1та S 2

випромінювали пучки когерентного світла, які перекривалися на екрані. На екрані в

місці перекриття пучків спостерігалися паралельні інтерференційні смуги. Вимірявши

ширину дифракційної смуги, Юнг зміг обчислити довжину світлової хвилі.

S 1

S d

S 2 D

P

l 1

l 2 d / 2

d / 2 0

l

Рисунок 50.1

2 Обчислимо ширину інтерференційної смуги в досліді Юнга. Розглянемо дві

циліндричні когерентні світлові хвилі, що виходять із джерел

S 1 і

S 2, які мають вигляд

паралельних тонких світних ниток або вузьких щілин (рис. 50.1). Область, у якій ці хвилі

перекриваються, називається полем інтерференції. Якщо в поле інтерференції внести екран E, то на ньому буде спостерігатись інтерференційна картина, що має вигляд світлих і темних смуг, які чергуються між собою. Обчислимо координати цих смуг у припущенні, що

екран є паралельним до площини, у якій лежать джерела

S 1 і

S 2. Візьмемо на екрані

координатну вісь X, паралельну до прямої, що проходить через

S 1і

S 2. Початок координат

помістимо в точці O, відносно якої S 1 і S 2

розміщені симетрично. Джерела

S 1 та S 2

випромінюють хвилі в однаковій фазі. Знайдемо різницю ходу світла D у точці

спостереження P від цих джерел. Зрозуміло, що різниця ходу дорівнює

D = nl 2 - nl 1, (50.1)

де l 1

та l 2

– відстані від точки P до джерел

S 1 та S 2

(див. рис. 50.1); n – показник

заломлення середовища між джерелами та екраном E. Знайдемо

l 2- l 1, виходячи з

геометричних міркувань. Застосовуючи теорему Піфагора, можемо записати

Звідси

l

2 = l 2

+ (x - d / 2)2,

l 2 = l 2

+ (x + d / 2)2

. (50.2)

l 2- l 1

= (l 2+ l 1)(l 2- l 1) = 2 xd. (50.3)

2 2

Для отримання помітної інтерференційної картини відстань між джерелами повинна бути значно меншою за відстань l до екрана. Відстань x, у межах якої утворюються інтерференційні смуги, також повинна бути значно меншою за l. За таких умов можна

припустити, що

l 2+ l 1» 2 l. Тоді з (50.3) можемо записати

l 2- l 2 = xd / l. Помноживши l 2- l 2

на показник заломлення середовища n, отримаємо оптичну різницю ходу

D = n xd. (50.4)

l

Підстановка цього значення D в умову інтерференційного максимуму

D = ± m l0

(m = 0, 1, 2,...)

показує, що максимуми інтенсивності будуть спостерігатися при значеннях x, що дорівнюють

x = ± m l l

max d

(m = 0, 1, 2,...). (50.5)

Тут

l = l0 / n

– довжина хвилі у середовищі, що заповнює простір між джерелами світла й

екраном.

Відстань між двома сусідніми максимумами інтенсивності називають відстанню між інтерференційними смугами, а відстань між сусідніми мінімумами інтенсивності –

шириною інтерференційної смуги. Неважко з’ясувати, що відстань між смугами й ширина

смуги мають однакове значення, що дорівнює, як це випливає з (50,5),

D x = m l l - (m -1) l l =

l l. (50.6)

d

Припустимо, що відстань між щілинами

d d

S 1 та S 2

становить

d = 1 мм, а відстань

l = 1,5

м. Вимірюючи експериментально

D x = 0,93 мм, можна знайти з (50.6), що довжина

світла дорівнює l = 620 нм. Таким шляхом уперше Юнг виміряв довжини світлових хвиль.

§ 51 Дзеркала Френеля. Ширина інтерференційних смуг [5]

1 Розглянемо інтерференційну схему, яка використовує відбиття для розділення світлової хвилі на дві частини. Ця схема отримала назву дзеркал Френеля.

Два плоских дотичні дзеркала OM та ON розміщуються так, що їх поверхні, які відбивають, утворюють кут, близький до p (рис. 1). Відповідно кут j (див. рис. 51.1) дуже

малий. Паралельно лінії перетинання дзеркал O на відстані r від неї розміщене прямолінійне джерело світла S (наприклад, вузька щілина, яка світиться). Дзеркала відбивають на екран E дві циліндричні когерентні хвилі, які поширюються так, ніби вони

вийшли з уявних джерел джерела S до екрана E.

S 1 і

S 2. Непрозорий екран

E 1

E 1 знаходиться на шляху світла від

E

M S P

S 1 r

j

d j

r 0

S 2

j N

Q

a b

l

Рисунок 51.1 – Дзеркала Френеля. Інтерференція спостерігається в області

OPQ, у якій відбиті хвилі накладаються одна на одну

Промінь OQ являє собою відбиття променя SO від дзеркала OM, промінь OP –

відбиття променя SO від дзеркала ON. Кут між

Ð S 1 SS 2

дорівнює j (як кути між

відповідними взаємно перпендикулярними прямими). Оскільки S та

S 1розміщені відносно

дзеркала OM симетрично, довжина відрізка

OS 1

дорівнює OS, тобто r. Аналогічні

міркування приводять до того ж результату для відрізка

OS 2. Таким чином, відстані від

точки O до точок S 1, S 2

і S дорівнюють r. Це означає, що ці точки лежать на колі радіусом

r із центром у точці O. Таким чином, кут

1

Ð S 1 SS 2

є вписаним у коло радіусом r із центром

у точці O і тому

Ð S 1 SS 2 = 2 Ð S 1 OS 2. Таким чином,

Ð S 1 OS 2= 2j. Неважко знайти відстань

d між уявними джерелами

Ð S 1 OS 2= 2j,

S 1 та

S 2, використовуючи те, що

d = 2 r sin j» 2 r j.

OS 1= OS 2= r

и кут

На рис. 1 бачимо, що

a = r cos j» r. Отже, відстань l між уявними когерентними джерелами

та екраном E буде дорівнювати

l = a + b» r + b,

де b – відстань від лінії перетину дзеркал O до екрана E.

Підстановка знайдених значень d і l у формулу для ширини інтерференційної смуги у досліді Юнга дає ширину інтерференційної смуги у випадку дзеркал Френеля:

D x =

l l = r + b l. (51.1)

d 2 r j

§ 52 Інтерференція світла при відбитті від тонких плівок. Різниця ходу променів. Смуги рівного нахилу. Смуги рівної товщини [5]

1 Під час падіння світлової хвилі на тонку прозору пластинку (або плівку) відбувається відбиття від обох поверхонь пластинки. У результаті виникають дві світлові хвилі, які при деяких умовах можуть інерферувати між собою.

Нехай на прозору

1

1 2

2 B

q1 l 1

q1 C

плоскопаралельну пластинку падає плоска світлова хвиля, яку можна розглядати як паралельний пучок променів (рис. 52.1). Пластинка відбиває вгору два паралельних пучки світла, один з яких утворився за рахунок відбиття від верхньої поверхні пластинки, другий – внаслідок відбиття від нижньої поверхні (на рис. 52.1 кожний

A

q

btg q22

b l 2

n 2

q2 q2

O

= b

cos q2

із цих пучків показаний тільки одним

Рисунок 52.1

променем). При вході в пластинку й виході з неї другий пучок заломлюється. Крім цих двох пучків, пластинка відбиває вгору пучки, що виникають у результаті три-, п'яти- і т.д. кратного відбиття від поверхонь пластинки. Однак через їхню малу інтенсивність ми ці пучки брати до уваги не будемо. Не будемо також цікавитися пучками, що пройшли через пластинку.

Різниця ходу, що отримується променями 1 і 2 до того, як вони зійдуться в точці C,

дорівнює

де l 1

– довжина відрізка BC; l 2

D = nl 2 - l 1, (52.1)

– сумарна довжина відрізків AO та OC; n – показник

заломлення пластинки. Показник заломлення середовища, що оточує пластинку, беремо

таким, що дорівнює одиниці. З рис. 52.1 видно, що

l 1= 2 b × tg q2sin q1,

l 2= 2 b / cos q2

(b –

товщина пластинки). Підстановка цих значень у вираз (52.1) дає, що

D = 2 bn

- 2 b × tg q2

sin q1

= 2 b

n 2- n sin q

sin q1.

cos q2

n cos q2

Використавши закон заломлення n sin q2= sin q1і врахувавши, що

n cos q2=

n 2 - n 2

sin 2

q2=

n 2- sin 2

q1,

легко привести формулу для D до вигляду

D = 2 b

n 2- sin 2 q

. (52.2)

При обчисленні різниці фаз d між коливаннями у променях 1 і 2 потрібно, крім оптичної різниці ходу D, врахувати можливість зміни фази хвилі при відбитті. У точці C (див. рис. 52.1) відбиття проходить від оптично більш густого середовища. Тому фаза хвилі 1 змінюється на p. У точці O відбиття проходить від менш густого середовища, тому стрибка фази тут не відбувається. У результаті між променями 1 і 2 виникає додаткова різниця фаз, що дорівнює p. Її можна врахувати, додавши до D (або віднявши від неї) половину довжини хвилі у вакуумі. У результаті отримаємо різницю ходу променів, які інтерферують у плівці:

D = 2 b

n 2- sin 2

q1- l0/ 2. (52.3)

При

D = m l0

отримуємо інтерференційні максимуми, при

D = (m +1/ 2)l0 –

інтерференційні мінімуми (m – ціле число). Умова максимуму має вигляд

2 b n 2- sin 2 q

= (m + 1/ 2)l0

. (52.4)

Рівність (52.3) виражає умову максимуму інтерференції світла від тонкої прозорої пластинки або плівки.

2 Неважко зрозуміти, що коли товщина b і кут падіння

q1скрізь однакові, то в усіх

точках на поверхні пластинки може виникати максимум інтерференції для світла якоїсь однієї довжини хвилі l; інакше кажучи, при освітленні пластинки білим світлом вона матиме один колір. Можливі інші випадки.

Коли кут падіння q1

скрізь однаковий, а товщина пластинки різна, тоді максимум

інтерференції світла довжини хвилі l1

буде в точках, що відповідають товщині пластинки

d 1, а максимум для хвилі l2

– у точках, що відповідають товщині d 2

і т. д. У результаті

інтерференції на пластинці утворяться кольорові смуги, які позначатимуть місця однакової

товщини пластинки або плівки, їх називають смугами однакової товщини. Такі кольорові смуги можна спостерігати на дорогах після дощу, де розлите мастило чи пальне, на плоскій мильній плівці тощо.

Може бути, що кут падіння q1

в різних точках набуває різних значень (наприклад,

при освітленні пластинки точковим джерелом світла), а товщина пластинки d при цьому

залишається незмінною. Тоді максимум для хвиль l1

виникатиме в точках, де кут падіння

q1, а для хвиль l2

– де кут падіння q2

і т.д. У результаті інтерференції на пластинці

утворяться кольорові смуги, які позначатимуть місця однакового нахилу світлових

променів; їх називають смугами однакового нахилу.

§ 53 Кільця Ньютона. Радіуси темних і світлих кілець [5]

1 Класичним прикладом смуг однакової товщини є кільця Ньютона (див. рис. 53.1). Вони спостерігаються при відбитті світла від системи, що складається з дотичних товстої плоскопаралельної пластинки й плоскоопуклої лінзи з великим радіусом кривизни (рис. 53.2). Роль тонкої плівки, від поверхонь якої відбиваються когерентні хвилі, відіграє повітряний зазор між пластинкою й лінзою (внаслідок великої товщини пластинки й лінзи

інтерференційні смуги за рахунок відбиття від інших поверхонь не виникають). Під час нормального падіння світла на поверхню пластини кільця Ньютона мають вигляд концентричних кіл (див. рис. 53.1).

З'ясуємо більш детально, яким чином виникають кільця Ньютона. Розглянемо промінь 1 (див. рис. 53.2), який падає на межу плоскоопукла лінза – повітря (точка А). Тут частина променя відбивається (промінь 2), а частина проходить далі й відбивається (промінь 3) від межі повітря – плоскоопукла пластинка (точка В). Промені 2 і 3 є когерентними, тому що створені з одного і того самого променя 1, інтерферують між собою й формують частину інтерференційної картини, яку

називають кільцями Ньютона.

Визначимо різницю ходу променів 3 і 2. Через те

Рисунок 53.1 – Кільця Ньютона

що кут повітряного клину (зазору) між пластинкою й лінзою дуже малий, то промені 1, 2 і 3

можна вважати паралельними, падіння перпендикулярним, повітряний зазор плоским. Тоді оптична різниця ходу променів 2 і 3 буде дорівнювати

D = 2 × b ×1+ l0/ 2. (53.1)

Тут ураховано, що товщина зазору

b =| AB |,

показник заломлення у зазорі дорівнює

n = 1.

Також при відбитті від плоскопаралельної

пластини в точці В (відбиття від оптично більш щільного середовища) має місце зміна фази коливання світлового вектора на p. Це враховано шляхом додавання (віднімання) половини довжини хвилі світла у вакуумі до оптичної різниці ходу.

Якщо ця різниця ходу буде задовольняти умову максимуму

D = m l0, (53.2)

то промені 2 і 3 будуть формувати світлу частину кільця Ньютона. Якщо ця різниця ходу буде задовольняти умову мінімуму

D = m l0+ l0/ 2, (53.3)

R - b R

3 2

A r b B

Рисунок 53.2 – Кільця Ньютона виника- ють при накладенні хвиль, відбитих від сферичної поверхні лінзи й верхньої поверхні плоскої скляної пластинки

то промені 2 і 3 будуть формувати темну частину кільця Ньютона.

Знайдемо радіуси r кілець Ньютона (див. рис. 53.1), що виникають при падінні світла перпендикулярно до пластини. З рис. 53.2 випливає, що

R 2= (R - b)2+ r 2» R 2- 2 Rb + r 2, (53.4)

де R – радіус кривизни лінзи; r – радіус кола, всім точкам якого відповідає однакова

товщина зазору b. Через те що b є малою, ми знехтували b 2

до (53.4) маємо b = r 2 / 2 R. Тоді з (53.1) отримуємо

порівнянно з

2 Rb. Відповідно

D = r

/ R + l0/ 2. (53.5)

Підставивши це значення в умову максимуму (53.2), знаходимо умову

r 2 / R = (m -1/ 2)l

, або r =

R l0

(2 m -1) / 2

(m = 1,2,...), (53.6)

для світлих кілець. Підставивши значення (53.5) в умову мінімуму (53.3), отримаємо

r 2 / R = m l

, або r =

R l0

2 m / 2,

(m = 1,2,...), (53.7)

для темних кілець. Обидві умови (53.6) й (53.7) можна об'єднати в одну:

r = R l02 m ¢/ 2,

(m ¢= 1,2,3...). (53.8)

Непарні m ¢відповідають радіусам світлих кілець, парні – радіусам темних кілець. Значенню

m ¢= 0

відповідає

r = 0, тобто точка в місці дотику пластинки й лінзи. У цій точці

спостерігається мінімум інтенсивності, який обумовлений зміною фази на p при відбитті світлової хвилі від пластинки (див. рис. 53.1).

ТЕМА 8 ДИФРАКЦІЯ СВІТЛА

§ 54 Принцип Гюйгенса-Френеля [5]

1 Дифракцією називається сукупність явищ, які спостерігаються при поширенні світла у середовищі з різкими неоднорідностями (поблизу границь тіл, крізь малі отвори й т.п.) і які пов'язані з відхиленнями від законів геометричної оптики. Дифракція, зокрема, приводить до огинання світловими хвилями перешкод й проникнення світла в область геометричної тіні.

Розрізняють два види дифракції.

Якщо джерело світла S і точка P

спостереження P розміщені від

перешкодинастількидалеко,що промені, S

які падають на перешкоду, і промені, які

йдуть у точку P, утворюють практично паралельні пучки, то говорять про дифракцію в паралельних променях, або

про дифракцію Фраунгофера. В іншому

випадку говорять про дифракцію

Френеля. Дифракцію Фраунгофера можна спостерігати, помістивши за джерелом

Рисунок 54.1 – Схема спостереження дифракції

в паралельних променях

світла S і перед точкою спостереження P лінзи так, щоб точки S і P знаходились у фокальній площині відповідної лінзи (рис. 54.1).

Пояснюється дифракція принципом Гюйгенса- n

Френеля: кожний елемент хвильової поверхні S (рис. 54.2)

є джерелом вторинної сферичної хвилі, амплітуда якої j

пропорційна площі елемента dS; результуюче коливання в dS

довільній точці P є суперпозицією, інтерференцією r

сферичних хвиль вторинних джерел усієї хвильової поверхні

S.

Запишемо аналітичний вираз принципу Френеля- P

Гюйгенса. Для цього згадаємо, що амплітуда сферичної

хвилі зменшується з відстанню r від джерела за законом S

1/ r. Отже, від кожного елемента dS хвильової поверхні в

точку P, що лежить перед цією поверхнею, надходить коливання

dE = K (j) AdS cos(w t - kr + a). (54.1)

r

Рисунок 54.2 – До знаходжен- ня амплітуди коливання і

точці P, яке збуджується

У цьому виразі (w t + a)

– фаза коливання у місці

елементом хвильової поверхні

розміщення хвильової поверхні S; k – хвильове число; r – dS

відстань від елемента поверхні dS до точки P. Множник

A визначається амплітудою світлового коливання у тому місці, де знаходиться dS.

Коефіцієнт

K (j)

залежить від кута j між нормаллю n до площини dS і напрямом від dS

до точки P. При

j = 0

цей коефіцієнт максимальний, при

j = p / 2

він перетворюється у

нуль. Відповідно до принципу Френеля-Гюйгенса результуюче коливання в точці P є суперпозицію коливань (54.1), узятих для усієї хвильової поверхні S:

ò

E = K (j) A cos(w t - kr + a) dS. (54.2)

r

S

Ця формула є аналітичним виразом принципу Гюйгенса-Френеля.

Таким чином, між інтерференцією й дифракцією немає істотної фізичної різниці. Обидва явища полягають у перерозподілі світлового потоку у результаті суперпозиції хвиль.

Через історичні причини перерозподіл інтенсивності, що виникає в результаті суперпозиції

хвиль, які збуджуються скінченним числом дискретних когерентних джерел, називають інтерференцією хвиль. Перерозподіл інтенсивності, що виникає внаслідок суперпозиції хвиль, які збуджуються когерентними неперервно розміщеними джерелами, називають дифракцією хвиль. Тому говорять, наприклад, про інтерференційну картину від двох вузьких щілин і про дифракційну картину від однієї щілини.

§ 55 Метод зон Френеля. Радіус зони Френеля. Амплітуда коливань світлової хвилі від точкового ізотропного джерела [5]

1 Обчислення явищ дифракції з застосуванням принципу Френеля-Гюйгенса є в загальному випадку дуже важким завданням. Однак, як показав Френель, у випадках, що характеризуються симетрією, знаходження амплітуди результуючого коливання може бути виконано простим алгебраїчним або геометричним підсумовуванням.

Щоб зрозуміти сут- ність методу, який був розроблений Френелем (ме- тод зон Френеля), визна- чимо амплітуду світлового

коливання, яке збуджується S в точці P сферичною хвилею, що поширюється в однорідному й ізотропному середовищі із точкового

джерела S (рис. 55.1). Хвильові поверхні такої хвилі симетричні відносно

b + 4 × l / 2

b + 3× l / 2

b + 2 × l / 2

b + l / 2

P

a b

1-а зона 2-а зона 3-а зона 4-а зона

прямої SP. Скориставшись цим, розіб'ємо зображену на

Рисунок 55.1 – Розбивання сферичного хвильового фронту на

зони Френеля

рисунку хвильову поверхню на кільцеві зони, побудовані так, що відстані від країв кожної

зони до точки P відрізняються на

l / 2

( l – довжина хвилі в тому середовищі, у якому

поширюється хвиля). Зони, що мають таку властивість, називаються зонами Френеля.

2 З рис. 55.1 випливає, що відстань bm

дорівнює

від зовнішнього краю m -ї зони до точки P

b = b + m l, (55.1)

m 2

де b – відстань від вершини хвильової поверхні до точки P.

Коливання, що надходять у точку P від аналогічних точок двох сусідніх зон (тобто від точок, що лежать усередині зон або біля зовнішніх країв зон і т.п.), перебувають у протилежних фазах. Тому й результуючі коливання, які створюються кожною із зон у цілому, будуть для сусідніх зон відрізнятися за фазою на p.

3 Обчислимо площу і радіус зон Френеля.

Зовнішня границя m -ї зони виділяє на хвильовій поверхні сферичний сегмент висоти

a rm

l

bm = b + m

hm (рис. 55.2). Позначимо площу цього

S O P

a - h

сегмента через

Sm. Тоді площу m -ї зони можна m b

подати у вигляді

D Sm = Sm - Sm -1,

hm

Рисунок 55.2 – До обчислення площі зон

де Sm -1

– площа сферичного сегмента, який

Френеля

виділяється зовнішньою границею (m -1)-ї зони.

З рис. 55.2 випливає, що

r 2 = a 2- (a - h

)2= (b + m l / 2)2 - (b + h

)2,

m m m

де a – радіус хвильової поверхні; дужках до квадрата, отримаємо

rm – радіус зовнішньої межі m -ї зони. Підвівши вирази у

r 2 = 2 ah

- h 2= bm l + m 2(l / 2)2- 2 bh

- h 2. (55.2)

Звідси

m m m

m m

bm l + m 2(l / 2)2

m

h =

2(a + b)

. (55.3)

Обмежившись розглядом не занадто великих m, можна, через те, що довжина хвилі l є малою величиною, знехтувати доданками, які мають l2. У цьому наближенні

hm =

bm l

2(a + b)

. (55.4)

Отже,

Площа сферичного сегмента дорівнює

2p Rh

(R – радіус сфери; h – висота сегмента).

а площа m -ї зони

Sm = 2p ahm

= p abm l,

a + b

D S = S - S

= p ab l[ m - (m -1)] = p ab l.

m m m -1

a + b

a + b

Отриманий вираз не залежить від m. Це означає, що при не занадто великих m площі зон Френеля приблизно однакові.

З рівності (55.2) можна знайти радіуси зон. При не занадто великих m висота

сегмента

hm << a. Тому можна вважати, що

rm = 2 ahm. Підставивши значення (55.4) для

hm,

отримаємо для радіуса зовнішньої межі m -ї зони Френеля вираз

rm =

ab a + b

m l. (55.5)

Якщо покласти

a = b = 1 м і l = 500

нм, то для радіуса першої (центральної) зони отримаємо

значення r 1 =

0,5 мм. Радіуси наступних зон зростають як m.

4 Знайдемо амплітуду результуючого коливання у точці P, яке збуджується

сферичною хвилею. Згідно з принципом Гюйгенса-Френеля амплітуда коливань dE, що збуджується елементом хвильової поверхні dS, який знаходиться на відстані r від точки спостереження, визначається співвідношенням

dE = K (j) AdS cos(w t - kr + a). (55.6)

r

Ми з'ясували, що площі зон Френеля приблизно однакові. Відстань bm

від зони до

точки P повільно зростає з номером зони m (величині bm

у (55.6) відповідає r). Кут j між

нормаллю до елементів зони й напрямом на точку P також зростає з m. Все це приводить до

того, що амплітуда

Am коливання, яке збуджується m -ю зоною в точці P, відповідно до

(55.6) монотонно зменшується з ростом m. Навіть при дуже великих m, коли площа зони

починає помітно зростати з m (див. (55.3)), зменшення множника

K (j), переважає

зростанню D Sm, так що

Am продовжує зменшуватися. Таким чином, амплітуди коливань, які

збуджуються у точці P зонами Френеля, утворюють послідовність, яка монотонно зменшується:

A 1> A 2> A 3>... Am -1> Am > Am +1>...

Фази коливань, які збуджуються сусідніми зонами, як ми з’ясували вище, відрізняються на p. Тому амплітуда A результуючого коливання в точці P може бути подана у вигляді

A = A 1- A 2+ A 3- A 4+...

У цей вираз усі амплітуди від непарних зон входять із одним знаком, а від парних зон – із іншим. Напишемо цей вираз таким чином:

A	+ æ A 1 ç		A	ö æ A ÷ + ç 3		A	ö ÷
	è2			ø è 2			ø

A = 1

- A 2+ 3

- A 4+

5 +...

(55.7)

Внаслідок монотонного зменшення

Am можна вважати, що

A = Am -1 + Am +1.

m 2

Тоді вирази в дужках (55.7) будуть дорівнювати нулю, а формула (55.7) спрощується:

A = A 1. (55.8)

Згідно з (55.8) амплітуда, що створюється в деякій точці P усією сферичною хвильовою поверхнею, дорівнює половині амплітуди, яку створює лише одна центральна зона. Якщо на шляху хвилі поставити непрозорий екран з отвором, що залишає відкритою тільки

центральну зону Френеля, амплітуда в точці P буде дорівнювати

A 1, тобто у два рази

перевищить амплітуду (55.8). Відповідно інтенсивність світла в точці P буде у цьому

випадку в чотири рази більше, ніж за умови відсутності перешкоди між точками S та P.

5 Розв’яжемо задачу про поширення світла від джерела S до точки P методом графічного додавання амплітуд. Розіб'ємо хвильову поверхню на кільцеві зони, аналогічні зонам Френеля, але набагато менші за шириною (різниця ходу від країв зони до точки P становить однакову для всіх зон малу частину l). Коливання, що створюється у точці P такою зоною, зобразимо у вигляді вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а кут, який утворений таким вектором із напрямком, взятим за початок відліку, буде дорівнювати початковій фазі коливання (використовуємо метод векторних діаграм). Амплітуда коливань, які створюються такими зонами в точці P, повільно зменшується при переході від зони до зони. Кожне наступне коливання відстає від попереднього за фазою на одну і ту саму величину. Отже, векторна діаграма, яку ми отримуємо при додаванні коливань, що збуджується окремими зонами, має вигляд, показаний на рис. 55.3.

Якби ампл

Дата добавления: 2014-01-11