Восстановление функции по отсчетом

Для восстановления функции x(t) по ее отсчетом необходимо представить полученное выражение спектра

(1)

в выражение обратного преобразования Фурье

Учитывая, что , оканчательно получим функцию через отсчета называемое рядом Котельникова

Т.О, получено разложение функции x(t) в ряд по координатным функциям вида , а коэффициентами разложения являются значения самой функции x(t), отстающее друг от друга на :

Тем самым не только доказана сформулированная теорема но и указан способ построения (восстановление функции) x(t), если имеется в наличие лишь ее отсчеты.

Множитель функции отсчета. Ее свойства для круга частоты:

1. В момент времени , она достигает максимального значения (=1);

2.В моменты времени кратные (, где -любое целое число), функция отсчетов образуется;

3.Функция отсчетов ортогональны на интервале [-]

функция отсчета

(13)

Разложение непрерывной функции в ряд в виде (13) очень важно и приобрело в теории информации и других областях, не меньшее значение, чем разложение Фурье

Основные свойства функции :

1.Значение функции отсчета в нулевой точке =1, т.е.

2. Значения функции в точках =0, так

3. Амплитуда функции отсчета быстро затухающая, в силу быстрого возрастания знаменателя и ограниченного значения амплитуды

4. Для функции отсчета преобразование Фурье

представляет собой - импульс в действительной плоскости, высота которого равна =1 на интервале (-).

5.Площадь ограниченная функции отсчета равна 1.

6.Ортогональность функции отсчета.

Рассмотрим последовательность функции отсчета, отличается величиной сдвига на величину краткую .

Из этой последовательности выберем:

и

,

т.е. рассматриваемые нами функции отсчета ортогональны.

Для нормировки нужно ввести нормированный множитель. Тогда ортогональная последовательность функции отсчета:

Теорема Котельникова может быть обобщена и на случай не симметричности относительно =0 спектра. Временной интервал в этом случае определяется как .

Геометрический теорема Котельникова может быть интерпретирована как сумма функции отсчета, построенных в точках отсчета с интервалом . Амплитуда этих функций равна значению функции в точке отсчета.

Ω

(13) где (14)

или как ортогональная разность

(15)

Если у сообщения длительностью ограничить спектр на частоте , то в соответствии с теорией Котельникова получим

-количествоотсчетов (16)

В этом случае (15):

(17)

Имеется конечное число членов и следовательно представление непрерывной функции таким рядом будет неточным.

Приближенность этого выражения проявляется в том, что при конечном числе членов ряда их сумма точно совпадает с мгновенными значениями x(t) не на всем интервале , а только в точках отсчетов. В интервалах между точками отсчета x(t) и различаются и появляется погрешность. Уменьшить эту погрешность можно путем увеличения числа членов ряда. Из анализа (16) видно, при конечном , это можно сделать только уменьшая , т.е. увеличивая значение .

Среднеквадратическая ошибка вызванная указанной погрешностью.

(18)

где - погрешность между x(t) и , Е- энергия непрерывных сообщений.

Таким образом, дискретизация непрерывных сообщений конечной длительности в соответствий с теоремой Котельникова связана с ошибкой, одна составляющая которой обусловлена введением модели с ограниченным спектром:

- отношение средней мощности (энергии), отношение части спектра к средней мощности (энергии) всего спектра, а вторая – учетом конечного числа членов ряда разложения.

Общая среднеквадратическая ошибка

(19)

Восстановление непрерывной функции времени с конечной длительностью по ее отсчетом в соответствии (13) может выполнятся двумя способами:

1.Фильтрационный метод с применением аналогового фильтра

2.Интерполяция с применением специальных интерполяторов или универсальных

вычислительных машин.

При фильтрационном способе восстановления последовательность отсчетов, определяется выражением (13) в котором , подаемся на фильтр ФНЧ. Напряжение на входе фильтра определяется суперпозицией откликов фильтра на каждый поступающий отсчет.

Применяемый ФНЧ в этом случае должен иметь импульсную переходную функцию вида:

Этой функции соответствует ФНЧ с прямоугольной предельной функцией и физический он нереализуем.

При интерполяционном способе (13) алгоритм восстановления непрерывной функции

Алгоритм:

1.Создание функций вида и просуммировать их с учетом весовых коэффициентов, равных предельным отсчетом.

Технически это сложная операция, требующая запоминания отсчетов генерирую функцию и их суммирования с учетом их весовых коэффициентов.

По указанным причинам предельная дискретизация непрерывных сообщений в соответствии с теоремой Котельникова, а также последующее восстановление сообщений рассмотренными способами не находят практического применения.

Основная ценность предельной дискретизации во времени:

1.Определяет принципиальные возможности дискретизации

2.Указывает пути, позволяющее приблизится к этим возможностям.

Дата добавления: 2014-01-13