Доказательство. Необходимость. Пусть формула (6.1) точна для любого многочлена степени 2n-1

Необходимость. Пусть формула (6.1) точна для любого многочлена степени 2 n -1. Значит, она интерполяционная. (теорема из §1.) Пусть Q (x) — произвольный многочлен степени < n. Положим . Это будет многочлен степени не выше 2 n -1. Для него формула точна т. е. . Но последняя сумма равна 0, так как .

Достаточность. Пусть формула (6.1) — интерполяционная и , где Q — многочлен степени < n. Пусть f (x)— многочлен степени 2 n -1. Его можно представить в виде: , где Q (x) и r (x) — многочлены, степень которых меньше n. Проинтегрируем это соотношение:

. Первый интеграл в правой части = 0 в силу того, что ортогонален Q (x), а для 2-го интеграла квадратурная формула точна, т.к. она интерполяционна, т.е. он равен . Следовательно, . Но . Значит, формула точна для многочлена степени 2n -1.

Таким образом, мы получили квадратурную формулу, алгебраическая степень точности которой не ниже 2 n -1. Покажем, что эта степень точности является наивысшей в классе рассмотренных формул. Возьмем . Построим квадратурную формулу для этой функции:

. Интеграл слева положителен, а . Значит, сумма равна 0. Следовательно, R >0. Таким образом, нашелся многочлен степени 2 n, для которого формула не точна.

Поэтому такие формулы называются квадратурными формулами наивысшей алгебраической степени точности.

Теорема 3. Пусть на промежутке [ a,b ] и функция f (x) имеет непрерывную производную порядка 2 п. Пусть построена квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности c узлами и коэффициентами . Тогда

,

где , x — некоторая точка, лежащая на промежутке [ a,b ].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим по узлам интерполяционный полином Эрмита, удовлетворяющий условиям

Это будет многочлен степени не выше . По теореме об остаточном члене интерполирования Эрмита имеем

и зависит от х.

Умножим обе части равенства на r (х) и проинтегрируем:

.

Мы предполагаем, что интеграл в левой части существует. Для многочлена Р (х), как многочлена степени не выше 2 п -1, квадратурная формула точна, т.е.

Но , значит,

Интеграл в правой части представляет собой остаточный член квадратурной формулы, т.е.

Но не меняет знак, а непрерывна. Следовательно, можно применить лемму из §2. Значит

g

Дата добавления: 2014-01-14