Ol — V2X 42 страница

равное единице. В задаче же с условием Т = ——Ь(х) при ^ = 0 на той же площади в начальный момент времени сконцентриро­вано количество тепла ^рс_рТ dx = 2, из которого половина рас­пространяется затем в направлении положительных х (а другая половина — к отрицательным х). Поэтому ясно, что решения обеих задач тождественны и согласно (51,7) находим:

X²

Поскольку в силу линейности уравнений эффекты от тепла, подводимого в различные моменты времени, просто складывают­ся, то искомое общее решение уравнения теплопроводности с ус­ловиями (52,9) есть

t _____________

ИТ (х, /) - $ V^fcy Я (т) ехр {- dr. (52,10)

— сю

В частности, на самой плоскости х — 0 температура меняется по закону

t

xT(0, f)= \ д/'_Я(Д_Т) q(x)dn. (52,11)

— оо

С помощью этих результатов можно непосредственно полу­чить решение другой задачи, в которой заданной функцией вре­мени является сама температура Т на плоскости х = 0;

Г = 7₀(0 при х = 0; Г = 0 при t = — со, х > 0. (52,12)

Для этого замечаем, что если некоторая функция Т(х, t) удов­летворяет уравнению теплопроводности, то этому же уравнению удовлетворяет и производная дТ/дх. С другой стороны, диффе­ренцируя по х выражение (52,10), получим:

t

дТ (х, t) f xqix)

xq(т) ______ _£х Г________ х²)^

дх

Это есть функция, удовлетворяющая уравнению теплопровод­ности, причем q(t) есть (согласно (52,9)) ее же значение при х = 0; очевидно, что она и дает искомое решение задачи с уело-

дТ

виями (52,12). Написав Т(х, t) вместо и T₀(t) вместо

q(t), получаем таким образом:

t

дТ

Для потока тепла <?= — "^Л~ЫГ ^чеР^ез граничную поверхность х = 0 получаем после короткого преобразования:

t

.7(0 ^ {Al^l-fi^. (52,14)

— оо

Эта формула представляет собой обращение интегрального со­отношения (52,11).

Очень просто решается важная задача, в которой на гранич­ной поверхности л: = 0 температура задается в течение всего времени в виде периодической функции:

Т — Т₀е-^Ш при х = 0.

Ясно, что распределение температуры во всем пространстве бу­дет зависеть от времени посредством того же множителя е~^ш. Поскольку одномерное уравнение теплопроводности формально совпадает с уравнением (24,3), определяющим движение вязкой жидкости над колеблющейся плоскостью, то по аналогии с фор­мулой (24,5) мы можем сразу написать искомое распределение температуры в виде

Г = Г₀ ехр (- х д/^) ехр (ix д/^ - ш) • (52,15)

Мы видим, что колебания температуры на граничной поверх­ности распространяются от нее в виде быстро затухающих в глубь среды тепловых волн.

Другой тип задач теории теплопроводности представляют за-• дачи о скорости выравнивания температуры неравномерно на­гретых конечных тел, поверхность которых поддерживается при

заданных условиях. Следуя общим методам, ищем решения урав­нения теплопроводности вида

Т = Т_я(т)е~^к»*

с постоянными Х_п. Для функций Т„ получаем уравнение

%АТ_п = -Х_пТ_п. (52,16)

Это уравнение npi заданных граничных условиях имеет от­личные от нуля решения лишь при определенных Х_п, составляю­щих набор его собственных значений. Все эти значения веще­ственны и положительны, а соответствующие функции Т_п(х,у,z) составляют полную систему взаимно ортогональных функций. Пусть распределение температуры в начальный момент времени дается функцией Т₀(х,у, z). Разлагая ее по системе функций Т_п:

T₀(r) = Zc_nT_n(r),

п

получим искомое решение поставленной задачи в виде

7"(г, 0 = Zc„7-„(r)e-V. (62,17)

л

Скорость выравнивания температуры определяется, очевидно, в основном тем членом этой суммы, который соответствует наи­меньшему из Х_п', пусть это будет Xi. Время выравнивания тем­пературы можно определить как т = 1/Яь

Задачи

1. Определить распределение температуры вокруг сферической поверхно-
сти (радиуса R), температура которой есть заданная функция времени T₀(t),

Решение. Уравнение теплопроводности для центрально-симметрическо­го распределения температуры в сферических координатах есть

_£Г_₌_Х д² (гТ) dt г дг² '

Подстановкой T(r, t) = F(r, t)jr оно приводится к уравнению

dF_₌ <PF_ dt ^Х дг²

типа одномерного уравнения теплопроводности. Поэтому искомое решение можно написать прямо на основании (52,13) в виде

2г (я_Х)^1/2 _i (t - т)^3/2 \ 4_X (t - x) J

2. To же, если температура сферической поверхности есть Гое~^г<й{.
Решение. Аналогично (52,15), получим:

3. Определить время выравнивания температуры для куба (с длиной реб-
ра а), поверхность которого: а) поддерживается при заданной температуре
Т = 0, б) теплоизолирована.

Решение. В случае а) наименьшему значению Я соответствует следую­щее решение уравнения (52,16):

_. nx.ny.nz

Т\ = sin sin —— sin

а а а

(начало координат — в одной из вершин куба), причем

₌ J_₌₌_of_ ^Т Я, Зя²х ' пх

В случае же б) имеем fi=cos-^— (или такая же функция от у или г),

причем т = а²/я²х-

4. То же для шара радиуса R.

Решение. Наименьшему значению X соответствует центрально-симмет­ричное решение уравнения (52,16)

_ sin kr

^1_ г '

причем в случае a) k = я//?, так что

= -i— = -51 _Xk² %л² *

В случае же б) k определяется как наименьший корень уравнения igkR—kR, откуда kR = 4,493, так что т = 0,050 R²I%.

§ 53. Закон подобия для теплопередачи

Процессы теплопередачи в жидкости осложняются по срав­нению с теплопередачей в твердых телах возможностью движе­ния жидкости. Погруженное в движущуюся жидкость нагретое тело охлаждается значительно быстрее, чем в неподвижной жид­кости, где теплопередача происходит только с помощью процес­сов теплопроводности. О движении неравномерно нагретой жид­кости говорят как о конвекции.

Будем предполагать, что имеющиеся в жидкости разности температур достаточно малы для того, чтобы ее физические свой­ства можно было считать не зависящими от температуры. С дру­гой стороны, эти разности будут предполагаться настолько большими, чтобы по сравнению с ними можно было пренебречь изменениями температуры, обусловленными выделением тепла, связанным с диссипацией энергии путем внутреннего трения (см. § 55). Тогда в уравнении (50,2) может быть опущен член, со­держащий вязкость, так что остается

~ + WT = %AT, (53,1)

где % — х/рСр — температуропроводность. Это уравнение вместе с уравнением Навье-Стокса и уравнением непрерывности пол-

ностью описывает конвекцию в рассматриваемых условиях. Ниже мы будем рассматривать стационарное конвективное движе­ние¹)- Тогда все производные по времени выпадают, и мы полу­чаем следующую систему основных уравнений:

vvr = _XAr, (53,2)

(vv)v=-V-^- + vAv, divv = 0. (53,3)

В эту систему, в которой неизвестными функциями являются v, Г и р/р, входят всего два постоянных параметра: v и Кроме того, решение этих уравнений зависит, через посредство гранич­ных условий, еще от некоторого характерного параметра длины I, скорости U и характерной разности температур 7\ — Го. Пер­вые два определяют, как всегда, размеры фигурирующих в за­даче твердых тел и скорость основного потока жидкости, а тре­тий— разность температур между жидкостью и твердыми те­лами.

При составлении безразмерных величин из имеющихся в на­шем распоряжении параметров возникает вопрос о том, какую размерность следует приписать температуре. Для этого заме­чаем, что температура определяется уравнением (53,2), являю­щимся линейным и однородным по Г. Поэтому температура мо­жет быть умножена без нарушения уравнений на произвольный постоянный множитель. Другими словами, единицы для измере­ния температуры могут быть выбраны произвольным образом. Возможность такого преобразования температуры может быть учтена формально посредством приписывания ей некоторой осо­бой размерности, которая бы не входила в размерности осталь­ных величин. Таковой является как раз размерность градуса — единицы, в которой температура обычно и измеряется.

Таким образом, конвекция характеризуется в рассматривае­мых условиях пятью параметрами со следующими размерно­стями:

[v] = [%] = см²/с, [С/] = см/с, М = см, [Т_{ — Г₀] = град.

Из них можно составить две независимые безразмерные комби­нации. В качестве таковых мы выберем число Рейнольдса R =» = Ul/v и число Прандтля, определяемое как отношение

P=v/5c. (53,4)

⁴) Для того чтобы конвекция могла быть стационарной, необходимо, строго говоря, чтобы в соприкасающихся с жидкостью твердых телах находи­лись источники тепла, поддерживающие их при постоянной температуре. ²) Иногда пользуются числом Пекле (Peclet), определяемым как Оно сводится к произведению RP,

Всякая другая безразмерная величина может быть выражена че­рез R и Р²).

Что касается числа Прандтля, то оно представляет собой просто некоторую материальную константу вещества и не зависит от свойств самого потока. У газов это число — всегда порядка еди­ницы. Значения же Р для различных жидкостей лежат в более широком интервале. У очень вязких жидкостей Р может дости­гать очень больших значений. Приведем в качестве примера зна­чения Р при 20 °С для ряда веществ:

воздух. вода.. спирт. глицерин ртуть.

0,733 6,75 16,6 7250 0,044

Подобно тому как было сделано в § 19, мы можем теперь заключить, что в стационарном конвекционном потоке (задан­ного типа) распределение температуры и скорости имеет вид

/(f. *.р). 7j = *(-b *)• <⁵³'⁵>

Безразмерная функция, определяющая распределение темпера­туры, зависит как от параметров от обоих чисел R и Р; распре­деление же скоростей — только от числа R, поскольку оно опре­деляется уравнениями (53,3), в которые теплопроводность не входит вовсе. Два конвекционных потока подобны, если их чис­ла Рейнольдса и Прандтля одинаковы.

Теплопередачу между твердыми телами и жидкостью харак­теризуют обычно так называемым коэффициентом теплопере­дачи а, определяемым как отношение

а = _т ^q _т, (53,6)

где q — плотность потока тепла через поверхность тела, а ^ — — Т₀ — характерная разность температур твердого тела и жид­кости. Если распределение температуры в жидкости известно, то коэффициент теплопередачи легко определить, вычисляя плот­ность потока тепла q — —кдТ/дп на границе жидкости (произ­водная берется по нормали к поверхности тела).

Коэффициент теплопередачи является размерной величиной. В качестве безразмерной величины, характеризующей теплопере­дачу, пользуются числом Нуссельта

N = al/%. (53,7)

Из соображений подобия следует, что для каждого данного типа конвекционного движения число Нуссельта является определен­ной функцией только от чисел Рейнольдса и Прандтля:

N = /(R,P). (53,8)

Эта функция приобретает тривиальный вид при конвекции с достаточно малыми числами Рейнольдса. Малым R соответ­ствуют малые скорости движения. Поэтому в первом приближе­нии в уравнении (53,2) можно пренебречь членом, содержащим скорость, так что распределение температуры определяется урав­нением АТ" = 0, т. е. обычным уравнением стационарной тепло­проводности в неподвижной среде. Коэффициент теплопередачи не может, очевидно, зависеть теперь ни от скорости, ни от вяз­кости жидкости и потому должно быть просто

N = const, (53,9)

причем при вычислении этой постоянной можно рассматривать жидкость как неподвижную.

Задача

Определить распределение температуры в жидкости, совершающей пуазей-левское течение по трубе кругового сечения, температура стенки которой меняется вдоль длины трубы по линейному закону.

Решение. Условия течения одинаковы во всех сечениях трубы; и рас­пределение температуры можно искать в виде Т = Аг+ /(/•), где Аг — тем­пература стенки (выбраны цилиндрические координаты с осью г по оси трубы). Для скорости имеем согласно (17,9)

Решение этого уравнения, не имеющее особенностей при г = 0 и удовлетво­ряющее условию f = 0 при г — R, есть

'«--^[4-Ш'+т(*)Т-

Плотность потока тепла

q — %

дТ дг

= -~pc_pvRA.

•R *

Она не зависит от теплопроводности.

§ 54. Теплопередача в пограничном слое

Распределение температуры в жидкости при очень больших числах Рейнольдса обнаруживает особенности, аналогичные тем, которыми обладает и само распределение скоростей. Очень большие значения R эквивалентны очень малой вязкости. Но поскольку число P=v/% не бывает очень малым, то вместе с v должен рассматриваться как малый и коэффициент температу­ропроводности %. Это соответствует тому, что при достаточно больших скоростях движения жидкость может приближенно рассматриваться как идеальная, — в идеальной жидкости должны отсутствовать как процессы внутреннего трения, так и процессы теплопроводности.

Такое рассмотрение, однако, опять будет неприменимо в при­стеночном слое жидкости, поскольку при нем не будут выпол­няться на поверхности тела ни граничное условие прилипания, ни условие одинаковости температур жидкости и тела. В резуль­тате в пограничном слое происходит наряду с быстрым падением скорости также и быстрое изменение температуры жидкости до значения, равного температуре поверхности твердого тела. По­граничный слой характеризуется наличием в нем больших гра­диентов как скорости, так и температуры.

Что касается распределения температуры в основном объеме жидкости, то легко видеть, что при обтекании нагретого тела (при больших R) нагревание жидкости будет происходить прак­тически только в области следа, между тем как вне следа тем­пература жидкости не изменится. Действительно, при очень больших R процессы теплопроводности в основном потоке не играют практически никакой роли. Поэтому температура изме­нится только в тех местах пространства, в которые попадает при своем движении нагретая в пограничном слое жидкость. Но мы знаем (см. § 35), что из пограничного слоя линии тока выходят в область основного потока только за линией отрыва, где они попадают в область турбулентного следа. Из области же следа линии тока в окружающее пространство уже не выходят. Таким образом, текущая мимо поверхности нагретого тела в по­граничном слое жидкость попадает целиком в область следа, в котором и остается. Мы видим, что тепло оказывается распреде­ленным в тех же областях, в которых имеется отличная от нуля завихренность.

Внутри самой турбулентной области происходит интенсивный теплообмен, обусловленный сильным перемешиванием жидкости, которое характерно для всякого турбулентного движения. Та­кой механизм теплопередачи можно назвать турбулентной тем­пературопроводностью и характеризовать соответствующим ко­эффициентом Хтурб, подобно тому как мы ввели понятие о коэф­фициенте турбулентной вязкости г|_турб (§ 33). По порядку вели­чины коэффициент турбулентной температуропроводности опре­деляется такой же формулой, как и v_Typ6 (33,2):

Хтурб ~ 1&U.

Таким образом, процессы теплопередачи в ламинарном и тур­булентном потоках являются принципиально различными. В пре­дельном случае сколь угодно малых вязкости и теплопровод­ности в ламинарном потоке процессы теплопередачи вообще от­сутствуют и температура жидкости в каждом месте пространства не меняется. Напротив, в турбулентно движущейся жидкости в том же предельном случае теплопередача происходит и приводит к быстрому выравниванию температуры в различных участках потока.

Рассмотрим сначала теплопередачу в ламинарном погранич­ном слое. Уравнения движения (39,13) сохраняют свой вид. Ана­логичное упрощение должно быть произведено теперь и для уравнения (53,2). Написанное в раскрытом виде это уравнение имеет вид (все величины не зависят от координаты z): дТ. дТ_ _ (д²Т. д²Т \ ^Vx дх + ^Vv ду ~^% { дх^{2 +} ду² J^-

В правой его части можно пренебречь производной д²Т/дх² по сравнению с д²Т/ду², так что остается

дТ. дТ д²Т...,_ч

Из сравнения этого уравнения с первым из уравнений (39,13) ясно, что если число Прандтля — порядка единицы, то порядок величины б толщины слоя, в котором происходит падение ско­рости v_x и изменение температуры Т, будет по-прежнему опреде­ляться полученными в § 39 формулами, т. е. будет обратно про­порционален -\/R. Поток тепла

дТ Т_{ — Т₀ ^а = -^%Ж~*—ь—-

Поэтому мы приходим к результату, что q,_a вместе с ним и число Нуссельта, прямо пропорционально VR. Зависимость же N от Р остается неопределенной. Таким образом, получаем:

N = VRf(P). (54,2)

Отсюда, в частности, следует, что коэффициент теплопередачи а обратно пропорционален корню из размеров / тела.

Перейдем теперь к теплопередаче в турбулентном погранич­ном слое. При этом удобно, как и в § 42, рассмотреть бесконеч­ный плоскопараллельный турбулентный поток, текущий вдоль бесконечной плоской поверхности. Поперечный градиент темпе­ратуры dT/dy в таком потоке может быть определен из таких же соображений размерности, какие были использованы для на­хождения градиента скорости du/dy. Обозначим посредством q плотность потока тепла вдоль оси у, вызванного наличием гра­диента температуры. Этот поток является такой же постоянной (не зависящей от у) величиной, какой является поток импульса о, и наряду с ним может рассматриваться как заданный пара­метр, определяющий свойства потока. Кроме того, мы имеем теперь в качестве параметров плотность р и теплоемкость с_р еди­ницы массы жидкости. Вместо а введем в качестве параметра величину у»; q и с_р обладают размерностями соответственно эрг/с-см² = г/с³ и эрг/г-град = см²/с²-град. Что касается коэффициентов вязкости и теплопроводности, то они при доста­точно больших R не могут входить в dT/dy явно.

В силу упоминавшейся уже в § 53 однородности уравнений по температуре можно изменить температуру в любое число раз без того, чтобы нарушить уравнения. Но при изменении темпе­ратуры должен во столько же раз измениться и поток тепла. Поэтому q и Т должны быть пропорциональны друг другу. Но из q, v», р, с_р и у можно составить всего только одну величину, которая имеет размерность град/см и в то же время пропорцио­нальна q. Такой величиной является q/pc_pv,y. Поэтому должно быть

dT д

dy ^р pcpxv^y '

где В есть числовая постоянная, которая должна быть опреде­лена экспериментально¹). Отсюда имеем:

^т = $-^7^у + ^с)- <⁵⁴>³>

Таким образом, температура, как и скорость, распределена по логарифмическому закону. Входящая сюда постоянная интегри­рования с, как и при выводе (42,7), должна быть определена из условий в вязком подслое. Полная разность между температурой жидкости в данной точке и температурой стенки (которую мы принимаем условно за нуль) складывается из падения темпера­туры в турбулентном слое и ее падения в вязком подслое. Лога­рифмическим законом (54,3) определяется только первое из них. Поэтому, если написать (54,3) в виде

* KpCpV, \ V)

введя под знаком логарифма множителем толщину у₀, то const (умноженная на множитель, стоящий перед скобкой) должна представлять собой изменение температуры в вязком подслое. Это изменение зависит, конечно, и от коэффициентов v и По­скольку const есть величина безразмерная, то она должна иметь вид некоторой функции от числа Р, являющегося един­ственной безразмерной комбинацией, которую можно составить из имеющихся в нашем распоряжении величин v, %, р, о», с_р

') Здесь и — постоянная Кармана, входящая в логарифмический профиль скоростей (42,4). При таком определении р есть отношение (J = Viype/xrype, где v_Typ6 и Хтурв — коэффициенты в соотношениях

дТ ди

Я = рерХтурб -ду, о = pv_TyP6

локальные свойства турбулентности в неравномерно нагретой жидкости.

Следуя изложенному в § 33 способу (см. текст после (33,1)), выражаем q> через величины, характеризующие пульсации мас­штаба к:

ф ~Хту_Р6а(7УА.)².

Подставив сюда

ЗСтурб я, ~ v_TyP6 ь ~ kvh, v% ~ (екУ³ (согласно (33,2) и (33,6)), получим искомый результат:

Tl~q>B-^ll\²¹³. (54,5)

Таким образом, для к > ко пульсации температуры, как и пуль­сации скорости, пропорциональны Я,^1/3.

На расстояниях же к.<; Я-о температура сглаживается путем истинной теплопроводности. На масштабах к <С к₀ температура меняется плавно. По тем же соображениям, что и для скорости (ср. (33,19)), разности 7\ здесь пропорциональны к.

Задачи

1. Определить предельный закон зависимости числа Нуссельта от числа Прандтля в ламинарном пограничном слое при больших значениях Р и боль­ших R.

Решение. При больших Р расстояние б', на котором происходит изме­нение температуры, мало по сравнению с толщиной б слоя, в котором про­исходит падение скорости v_x (б' может быть названо толщиной температур­ного пограничного слоя). Порядок величины б' может быть получен оценкой членов уравнения (54,1). На расстоянии от у = 0 до у *~ й' температура испытывает изменение порядка полной разности Ti — Т₀ температур жидко­сти и твердого тела, а скорость v_x на том же расстоянии испытывает изме­нение порядка U6'I6 (полное изменение порядка U скорость испытывает на расстоянии б). Поэтому при у ~ б' члены уравнения (54,1) порядка ве­личины

д²Т Т\ - Г₀ дТ 6' Г, - Г₀

^%~Г7~^г—ТЛ—- ^и~1; •

ду* б дх о I

Сравнение обоих выражений дает б'³ ~ ibllU. Подставляя 6~//VR, полу­чаем:

Rl/2pl/3 pl/3 •

Таким образом, при больших Р толщина температурного пограничного слоя убывает по сравнению с толщиной скоростного пограничного слоя обратно пропорционально кубическому корню из Р, Поток тепла и окончательно находим предельный закон теплопередачи ⁴):

N = const R^1/2P^1/3.

2. Определить предельный вид функции f(P) в логарифмическом законе
распределения температуры (54,4) при больших значениях Р.

Решение Согласно сказанному в § 42 поперечная скорость в вязком подслое порядка величины v_r(y[y₀)², а масштаб турбулентного движения — порядка у^г/уо. Турбулентная температуропроводность, следовательно,

хтурб-^о(£)⁴~4i)⁴

(мы воспользовались здесь соотношением (42,5)); Хт>б сравнивается по по­рядку величины с обычным коэффициентом % на расстояниях у\ ~ 1/оР~^1/4. Поскольку Хтурб очень быстро растет с у, то ясно, что основное изменение температуры в вязком подслое происходит на расстояниях от стенки поряд­ка (/i и его можно считать пропорциональным у\, т. е. имеющим порядок ве­личины

Ml ~ ЧУ* ~ 1 рз/4,

% иР¹'⁴ рсрО, Сравнивая с формулой (54,4), находим, что функция f(P) будет иметь вид

f (Р) = const Р³'⁴,

где const — численная постоянная.

3. Вывести соотношение, связывающее локальные корреляционные функ-
ции

Втт = < (Т₂ — T_t) *>, Впт = < (и₂,- — v_it) (T₂ — Ti) ²>

в неравномерно нагретом турбулентном потоке (А. М. Яглом, 1949).

Решение. Все вычисления аналогичны выводам в § 34. Наряду с функ­циями Втт и Впт вводим вспомогательные функции

Ьтт = (JtT₂y, Ьпт = <.vuTiT₂},

и для облегчения рассуждений рассматриваем турбулентность как полностью однородную и изотропную. Имеем тогда:

Втт = 2<Г²> — 2Ь_ТТ, Вт = 46,-гг (1)

(средние значения

<ViiTiT2y = —<у₂,Г₁Г₂>,

а средние значения вида (оцТ²} обращаются в нуль в силу несжимаемости жидкости — ср. вывод (34,18)). С помощью уравнений

4f + (vV)r =)cA7\ divv = 0

') Для реальных значений коэффициента теплопроводности различных веществ число Прандтля не достигает тех больших значений, для которых мог бы иметь место этот предельный закон. Такие законы, однако, могут быть применены к конвективной диффузии, описывающейся теми же уравне­ниями, что и конвективная теплопередача, причем роль температуры играет концентрация растворенного вещества, роль теплового потока — поток этого вещества, а диффузионное число Прандтля определяется как P_D = v/Д где D — коэффициент диффузии. Так, для растворов в воде и сходных жидко­стях число Р_с достигает значений порядка 10³, а для растворов в очень вяз­ких растворителях — 10^е и более.

вычисляем производную

1Г ^ЬТТ - - ^2biTT + ²*Vrr (2)

В силу тех же изотропии и однородности, функции bm имеют вид

bitt = hibrtt, (3)

(где п — единичный вектор в направлении г= гг — ri), а Ь_гтт и Ьтт зависят только от г. С учетом (1) и (3), уравнение (2) принимает вид

dBj,j, 1

'^2ф--------- ЬТ~ ⁼1^dlv (^пВгтт) ~ х ля_Гг -

JL ^{д х д} (г^{2 дВ}тт\

^W~dr (^г2вгтт) jr-jfr у —дг—)'

где введена величина

(совпадающая с введенной в тексте). Поскольку локальную турбулентность можно считать стационарной, производной дВтт/dt пренебрегаем. Интегрируя оставшееся равенство по г, получим искомое соотношение (аналогичное (34,21):

dB_TT 4

^BrTT-^-JT а"* (4)

При г»%а член, содержащий %, мал, а согласно (54,5) функция В_Тт саг²/³. Тогда из (4) имеем:

^ВгТТ «- у«Р-

На расстояниях же г <?vo имеем В_Тт °° г², а членом В,тт можно пренебречь; тогда

Brr» -g- r*q>.

§ 55. Нагревание тела в движущейся жидкости

Термометр, погруженный в неподвижную жидкость, показы­вает температуру, равную температуре жидкости. Если же жид­кость движется, то термометр покажет температуру несколько более высокую. Это обусловливается нагреванием благодаря внутреннему трению тормозящейся у поверхности термометра жидкости.

Общую задачу можно сформулировать следующим образом. Тело произвольной формы погружается в движущуюся жид­кость; по истечении достаточного промежутка времени устано­вится некоторое тепловое равновесие и требуется определить возникающую при этом разность температур Ty=zT_Q между ними.

Решение этой задачи определяется уравнением (50,2), в кото­ром, однако, теперь уже нельзя пренебречь членом, содержащим вязкость, как это было сделано в (53,1); именно этот член опре­деляет интересующий нас здесь эффект. Таким образом, для установившегося состояния имеем уравнение

v / dv. dv. \² *vr-xAT + -^(-_a£ + -₅£).

(55,1)

К нему должны быть присоединены уравнения движения (53,3) самой жидкости и, строго говоря, еще и уравнение теплопровод­ности внутри твердого тела. В предельном случае достаточно малой теплопроводности тела можно пренебречь ею вовсе и тем­пературу каждой точки поверхности тела считать просто равной температуре жидкости в той же точке, получающейся в резуль­тате решения уравнения (55,1) с граничным условием дТ/дп=0, т. е. условием исчезновения потока тепла через поверхность тела. В обратном предельном случае достаточно большой теплопро­водности тела можно приближенно потребовать одинаковости температуры во всех точках его поверхности; производная дТ/дп при этом, вообще говоря, не обращается в нуль на всей поверх­ности и следует требовать исчезновения лишь полного потока тепла через всю поверхность тела (т. е. интеграла от дТ/дп по этой поверхности). В обоих этих предельных случаях коэффи­циент теплопроводности тела не входит явно в решение задачи; ниже мы будем предполагать, что имеем дело с одним из них.

В уравнения (55,1) и (53,3) входят постоянные параметры %, v и с_р и, кроме того, в их решение войдут размеры тела / и скорость U набегающего потока. (Разность же температур Т\ — Г_в не является теперь произвольным параметром, а должна сама быть определена в результате решения уравнений.) Из этих параметров можно составить две независимые безразмерные комбинации, в качестве которых выберем R и Р. Тогда можно утверждать, что искомая разность Т\ — Т₀ равна какой-либо ве­личине с размерностью температуры (в качестве таковой выбе­рем и²/с_р), умноженной на функцию от R и Р:

Дата добавления: 2014-11-07