Решение типового примера

Свойства дифференциала.

Если u=f(x) и v=g(x) – функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

4)

Если приращение Dx аргумента мало по абсолютной величине, то и

.

Таким образом, дифференциал функции применяется для приближенных вычислений.

Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала.

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у - сложная функция. Тогда

dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Пример. Вычислить приближенное значение.

Рассмотрим функцию. Полагая, и применяя формулу, учитывая, что, получаем

Задача 9.

Для решения задачи 9, кроме уже указанного материала по дифференциальному исчислению, понадобятся следующие факты.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Производной второго порядка (второй производной) функции f(x) называется производная от ее производной. Вторая производная обозначается так: или, или, или.

Физический смысл второй производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – ускорение этого движения.

Аналогично производная третьего порядка (третья производная) функции f(x) есть производная от производной второго порядка:.

Вообще, производной n-го порядка (n-ой производной) функции f(x) называется производная от производной (n-1)- го порядка:.

Если функция задана параметрически:,, то производные, вычисляются по формулам: и т.д.

Общие правила нахождения высших производных.

Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то

1) (Сu)⁽ⁿ⁾ = Cu⁽ⁿ⁾;

2) (u ± v)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾ ± v⁽ⁿ⁾;

3)

Это выражение называется формулой Лейбница.

Дифференциалом второго порядка функции f(x) называетсядифференциал от дифференциала первого порядка:. Аналогично определяются дифференциалы третьего, четвертого и т.д. порядков. Вообще,.

Если y=f(x) и x – независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:

Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Пример: Найти предел.

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида. Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x +; g¢(x) = e^x;

;

Пример: Найти предел.

;;

.

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Пример: Найти предел.

;;

;;

;;

Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

Пример: Найти предел.

;;

- опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

;;

- применяем правило Лопиталя еще раз.

;;

;

Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида, f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

Пример: Найти предел.

Здесь y = x^x, lny = xlnx.

Тогда. Следовательно

Исследование функций с помощью производной.

Возрастание и убывание функций.

Дата добавления: 2014-10-15