Вычисление площадей плоских фигур

Несобственные интегралы от разрывных функций

Пусть функция непрерывна при всех из, а в точке имеет разрыв второго рода. Пусть сколь угодно малая величина. Тогда на промежутке функция будет непрерывной и можно найти интеграл.

Устремим к нулю и рассмотрим предел.

Этот предел называется несобственным интегралом второго рода; записывается это так:

.

Если предел существует и конечен, то интеграл сходится, если предел не существует, то интеграл расходится.

Аналогично определяется интеграл, если функция имеет разрыв на левом конце интервала:

=.

Если имеет разрыв в точке, лежащей внутри промежутка, то

.

Пример. Вычислить несобственные интегралы:

1.. 2.. 3..

Решение

1. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке. Имеем:

Интеграл расходится.

2. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке. Имеем:

Интеграл сходится.

3. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке. Имеем:

Интеграл расходится.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить неопределенные интегралы:

1) 5)

2) 6)

3) 7)

4) 8)

4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

  Рис. 4.1     Рис. 4.2

1. Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке (рис. 4.1).

Тогда площадь фигуры, ограниченной линиями на численно равна интегралу, т. е. если, то.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями,,.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 4.2).

Из рис. 4.2 видно, что верхней границей данной криволинейной трапеции является дуга параболы.Тогда по формуле о площади криволинейной трапеции полу­чаем:

(кв. ед.).

2. Пусть функция у = f (x) неположительна и непрерывна на отрезке

Отражая кривую относительно оси абсцисс, получаем кривую с уравнением. Функция уже неотрицательна на, а площадь под этой кривой на из соображений симметрии равна площади, т. е. если, то

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями,,.

  Рис. 4.3

Решение. Сделаем чертеж (рис. 4.3).

Из рис. 4.3 видно, что искомая площадь криволинейного треугольника ОАВ может рассматриваться как площадь над кривой ОАВ на отрезке. Однако указанная кривая не задается одним уравнением. Поэтому для нахождения разобьем криволинейный треугольник ОАВ на части, проецируя точку А излома на ось абсцисс. Тогда. Абсциссы точек О, А, В задают пределы интегрирования. Координаты точек О, А, В равны (0,0), (1,–1), (2,0). Вычислим площади фигур и

,

Окончательно площадь фигуры равна (кв. ед.)

3. Пусть плоская фигура ограничена линиями,,.

  Рис. 4.4

Площадь рассматриваемой фигуры (рис. 4.4) ограничена сверху и снизу кривыми и соответственно, то:

.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями,.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 4.5). Данная фигура ограничена снизу дугой параболы и сверху прямой у = х. Для того, чтобы установить пределы интегрирования, найдем точки пересечения параболы и прямой. То есть решим уравнение:.

  Рис. 4.5

Тогда получим:

(кв.ед.).

Дата добавления: 2014-10-15