Приклади 1.2

1. – одноелементна множина, тобто множина, яка складається лише з одного елемента .

2. Множини , , , рівні, оскільки вони складаються з одних і тих же елементів. Множини і відрізняються тільки порядком елементів; множини і відрізняються від двох попередніх тим, що деякі елементи в них присутні у двох екземплярах. Множини і відрізняються тим, що множина має по два екземпляри елементів множини . Такі множини, як множина , називаються мультимножинами і позначаються так: . З точки зору теорії множин ці дві множини і можуть не розрізнятися і вважатися рівними. Але в практичних застосуваннях, наприклад, при зображенні цих множин в пам’яті ЕОМ, часто доводиться їх розрізняти.

3. Множини і не рівні оскільки перша складається з двох елементів і , які є в свою чергу множинами, а друга є трьохелементна множина з елементів .

4. Множини теж не рівні, оскільки перша є одноелементною, а друга двоелементна.

5. Нехай дано множини A= {1; 2} і B ={{1; 2; 3}, {1; 3}, 1; 2}. Тоді вираз {1; 2}Î{{1; 2; 3}, {1; 3}, 1; 2} неправильний, оскільки серед елементів множини B= {{1; 2; 3}, {1; 3}, 1; 2} нема елемента A= {1; 2}, але {1; 2}Í{{1, 2, 3}; {1; 3}; 1; 2} правильне, оскільки елементи 1, 2 множини {{1; 2; 3}, {1; 3}, 1; 2} формують підмножину {1; 2}.

Як уже було зазначено, множину можна задавати символом , але цей спосіб, ця форма застосовується тоді, коли кількість елементів невелика. Якщо ж кількість елементів значна, а тим більше при нескінченній їх кількості, такий спосіб визначення множини недоцільний або й неможливий. В такому разі застосовують визначення множини за допомогою властивості якій задовольняють елементи множини. Нехай є множина , деяка частина елементів якої має властивість . Ця частина елементів множини є її підмножиною (назвемо її множиною ). Тоді пишуть . В таких випадках має місце аксіома згортання:

Всяка властивість визначає деяку множину за такої умови: елементами множини є ті і тільки ті елементи множини , які мають властивість .

Використаємо способи властивості для визначення множини парних чисел:

. Це множина парних чисел, яка є підмножиною натуральних чисел N.

Ще одна форма визначення множини полягає у використанні певної процедури для побудови множини. Нехай множина , яка є підмножиною множини раціональних чисел , задається процедурою, яка визначається трьома кроками:

3) множина не містить інших елементів, крім побудованих за цим правилом.

З цієї процедури випливає, що множина має такі елементи: . Дійсно, якщо , то за вказаною процедурою знаходимо ще два елементи множини: . Далі використовуємо ці нові елементи множини і, приймаючи їх за , за тією ж процедурою знаходимо: якщо , то , тобто знаходимо ще один новий елемент . Якщо , то , отже, ще один новий елемент . Якщо , то .

Дата добавления: 2014-10-17