Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F (фокуса) и данной прямой d (директрисы).

Парабола =

Число p - расстояние от фокуса параболы F до директрисы d, т.е. , р >0 – фокальный параметр параболы.

y ² =2px – каноническое уравнение (60)

Директриса параболы (61)

Фокус параболы .

Свойства параболы:

1° Ось Ox - ось симметрии параболы.

2° Для любой точки М, принадлежащей параболе:

- фокальный радиус точки.

3° Для любой точки М, принадлежащей параболе, справедливо отношение: , поэтому эксцентриситет параболы принимают за единицу.

Основные случаи расположения параболы:

, ,

, ,

Если вершина параболы расположена в точке М ₀(x ₀ ;y ₀), то ее уравнение имеет вид или .

Эллипс, гипербола и парабола являются примерами кривых второго порядка на плоскости. Кроме названных кривых, существуют и другие виды кривых второго порядка, перечень которых приведен в таблице.

№	Тип кривой	Каноническое уравнение кривой	Примечание
1.	Эллипс
2.	Мнимый эллипс		действительных точек нет
3.	Гипербола
4.	Пара пересекающихся прямых		уравнения прямых:
5.	Пара мнимых пересекающихся прямых		действительная точка (0;0)
6.	Парабола	у ^2=2 рх
7.	Пара параллельных прямых	у ^2- а ^2 =0	уравнения прямых: у =± а
8.	Пара мнимых параллельных прямых	у ^2+ а ^2 =0	действительных точек нет
9.	Пара совпадающих прямых	у ^2=0	уравнения прямых: у =0

Пример 3.1. Привести уравнение кривой к каноническому виду. Построить кривую.

а)

б) .

Решение:

а) Выделим полные квадраты по x и по y

Þ

- окружность с центром в точке С(-2;1) и радиусом R=1

б) Þ

- окружность, где , .

Ответ: а)

б) .

Пример 3.2. Составить уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку М (2;4).

Решение: .

Т.к. окружность касается осей координат, то Þ уравнение окружности: .

Точка М (2;4)принадлежит окружности Þ Þ

,

Ответ: или .

Пример 3.3. Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок прямой , заключенный между осями координат.

Решение: Приведем уравнение прямой к виду «в отрезках»:

Þ в точках А (5;0) и В (0;12) прямая пересекает О х и О у.

По условию, АВ – диаметр окружности, следовательно, С - середина АВ.

Þ С(;6).

.

Ответ: .

Пример 3.4. Написать уравнение диаметра окружности, заданной уравнением , который перпендикулярен прямой .

Решение: Диаметр d проходит через центр окружности. Найдем координаты центра окружности, для чего приведем уравнение окружности к каноническому виду:

Þ С(3;-7)- центр окружности.

По условию Þ Þ т.к. .

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом: Þ Þ

Þ .

Ответ: .

Пример 3.5. Найти полуоси, координаты вершин, фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис эллипса, заданного уравнением . Сделать чертеж.

Решение: Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

Þ ,

-вершины эллипса

- фокусы эллипса

.

Уравнения директрис или .

Ответ: , , ,

, .

Пример 3.6. Найти полуоси, координаты вершин, фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот гиперболы, заданной уравнением . Сделать чертеж.

Решение: Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:

- каноническое уравнение Þ

- вершины гиперболы

- фокусы гиперболы

Уравнения директрис: или

Уравнения асимптот: или .

Ответ: , , ,

, , .

Пример 3.7. Привести уравнение кривой к каноническому виду: . Построить кривую и найти эксцентриситет.

Решение: Выделим полные квадраты по х и по у:

Þ центр эллипса находится в точке С(1;-2)

,

Þ ,

Þ

Ответ: - эллипс, .

Пример 3.8. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую

а)

б) .

Решение:

а) Выделим полные квадраты по х и у:

- гипербола

С(-1;3) - центр гиперболы

- полуоси гиперболы

Þ .

б) Выделим полный квадрат по х:

- парабола

С(2;-3) - вершина параболы

Найдем параметр параболы: т.к. , то . Тогда .

Ответ: а)

б) .

Дата добавления: 2014-10-22