Параболоиды

Гиперболоиды

Однополостный гиперболоид – поверхность, заданная в ПДСК уравнением

(64)

Сечения однополостного гиперболоида плоскостями z=h являются эллипсами

.

Сечения однополостного гиперболоида плоскостями х=h, у=h являются гиперболами

или .

Можно доказать, что через любую точку гиперболоида проходят две прямые, лежащие на нем.

Двуполостный гиперболоид

(65)

(65¢)

Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями z=h, | h | >c являются эллипсами. В этом случае (65)Þ .

Если , то в сечении мнимые эллипсы, при | h |= с - в сечении получают две точки.

Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями х=h, у=h являются гиперболами

(65)Þ или .

Как и эллипсоиды, гиперболоиды симметричны относительно всех координатных плоскостей и начала координат.

Эллиптический параболоид – это поверхность, заданная в ПДСК уравнением

(66)

Точка О(0;0;0) – вершина эллиптического параболоида

Т.к. , поверхность расположена по одну сторону от О xy.

Ввиду того, что переменные х, у входят в уравнение (66)в четной степени, эллиптический параболоид симметричен относительно оси О z, координатных плоскостей О xz, О yz.

Сечения эллиптического параболоида плоскостями z=h, (h>0)есть эллипсы:

.

Сечения параболоида плоскостями х=h, у=h являются параболами или .

Гиперболический параболоид с вершиной в начале координат:

(67)

Сечения гиперболического параболоида плоскостями z=h представляют собой гиперболы

.

Сечения параболоида плоскостями х=h, у=h являются параболами

или .

Пример 3.1. Методом сечений исследовать поверхность, определяемую уравнением . Выполнить графическую иллюстрацию.

Решение:

Представим уравнение в виде .

Пересекаем поверхность плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. В сечениях получаются линии с уравнениями .

При |h| <2 эти уравнения не имеют изображения (мнимые эллипсы), при h = ±2 уравнения характеризуют точки (0; 0; 2) и (0; 0; -2), а при | h |>2 – эллипсы: , где

С увеличением | h| увеличиваются и полуоси эллипсов 4с и 3с, т.е. эллипсы расширяются.

Перепишем уравнение поверхности в виде и пересечем ее вертикальными плоскостями y=b. При каждом соответствующие уравнения описывают гиперболы. В частности, при b=0 получаем гиперболу , расположенную в плоскости Oxz.

Сечения поверхности плоскостями x=a также представляют собой гиперболы .

На основании полученных результатов можно сделать вывод о строении поверхности: она состоит из эллипсов, «нанизанных» на гиперболу и представляет собой две отдельные части (над и под плоскостью Oxy). Т.о., данная поверхность – двуполостный гиперболоид.

Построим поверхность, для которой

a=4; b=3; c=2

Ответ: данная поверхность - двуполостный гиперболоид.

Дата добавления: 2014-10-22