Формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах

Пусть область D записывается системой неравенств в полярных координатах Область D называется правильной областью в полярной системе координат, если каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более чем в двуx точках (за исключением тех участков границы, которые являются частью луча, идущего из полюса) (Рис. 5). По определению двойного интеграла имеем: . Так как значение двойного интеграла не зависит от способа разбиения области D на элементарные части, то сделаем это разбиение координатными линиями полярной системы координат: лучами, выходящими из полюса, и концентрическими окружностями с центрами в полюсе. Тогда элементарная площадь вычисляется как разность площадей двух круговых секторов:

Фиксированная точка на каждой элементарной части тоже выбирается произвольно, поэтому ее декартовы координаты с учетом известных формул связи декартовых и полярных координат можно положить равными , (здесь значение угла можно произвольно зафиксировать на промежутке длиной ). Тогда определение двойного интеграла запишется в следующем виде:

Дата добавления: 2014-10-15