Використання математичних методів в економічному аналізі

На сучасному етапі економічного розвитку зростає потреба в оперативності прийняття управлінських рішень, у розрахунку й прогнозуванні варіантів можливих напрямків виробничої діяльності окремих підприємств. А це практично неможливо здійснити без застосування в аналітичному дослідженні економіко-математичних методів. Зокрема, найпоширенішим у процесі простого економічного аналізу є використання методів елементарної математики. Вони застосовуються для обґрунтування потреби у виробничих ресурсах, для балансових та інших розрахунків. Для дослідження складніших економічних явищ застосовуються методи вищої математики, наприклад диференціальне та інтегральне числення, логарифмування.

Так, використання в економічному аналізі методів елементарної математики, зокрема методу математичних перетворень, спрощує вивчення впливу додаткових факторів на об’єкт дослідження. Метод математичних перетворень є найбільш ефективним у кратних економіко-математичних моделях, де значення підсумкового показника визначається як співвідношення факторних показників. Реалізація методу математичних перетворень відбувається за трьома основними модифікаціями:

1. Перша модифікація – подовження чисельника розрахункової моделі шляхом перетворення одного або кількох факторних показників на алгебраїчну суму складових елементів цього показника (показників). Так, у розрахунковій моделі визначення витрат у розрахунку на одну гривню товарної продукції значення чисельника, тобто повної собівартості товарної продукції можна подати як суму окремих статей витрат, тобто витрат сировини і матеріалів, заробітної плати тощо.

2. Друга модифікація – формальне розкладання факторної системи, пов’язана із подовженням знаменника базової факторної моделі шляхом перетворення одного чи кількох факторних показників, зазначених у знаменнику, на алгебраїчну суму відповідних складових. У розрахунковій базовій моделі визначення показника рентабельності реалізованої товарної продукції маємо співвідношення прибутку від реалізації товарної продукції (чисельник) до її собівартості (знаменник). Проте значення показника собівартості можна подати як алгебраїчну суму окремих статей витрат, тобто матимемо відповідне подовження знаменника.

3. Третя модифікація – метод розширення факторної моделі, тобто відповідне перетворення і чисельника, і знаменника розрахункової моделі шляхом множення або ділення факторних показників, на одне й те ж саме значення якогось нового показника, внаслідок чого можуть виникнути нові факторні показники. Так, базова модель визначення загальної фондовіддачі являє собою співвідношення обсягу товарної продукції до середньорічної вартості основних промислово-виробничих фондів. Розділивши чисельник і знаменник моделі на значення показника чисельності робітників, відповідно отримаємо в чисельнику – показник продуктивності праці в розрахунку на одного робітника, а в знаменнику – коефіцієнт фондоозброєності праці.

Можливе застосування і складнішого варіанта методу розширення. Так, для визначення показника рентабельності авансованого капіталу застосовується така економіко-математична модель:

Р_к = П_б: (ВОФ + ВОК),

де Р_к – коефіцієнт рентабельності авансованого капіталу на підприємстві;

П_б – балансовий прибуток підприємства (грн.);

ВОФ – середньорічна вартість основних виробничих фондів (грн.);

ВОК – середньорічна вартість оборотних коштів (грн.).

За допомогою певних математичних перетворень можна одержати модифікований варіант даної економіко-математичної моделі. Так, якщо розділити чисельник і знаменник правої частини формули на показник обсягу реалізації товарної продукції (О_р), то значення коефіцієнта рентабельності авансованого капіталу при цьому не зміниться, а економіко-математична модель визначення коефіцієнта рентабельності матиме такий вигляд:

,

де (П_б:О_р) – балансовий прибуток на 1 грн. реалізованої продукції;

(ВОФ: О_р) – коефіцієнт фондомісткості;

(О_р: ВОК) – коефіцієнт оборотності оборотних коштів.

У такий спосіб ми визначили другу групу факторів, що впливають на зміну значення узагальненого показника. Тепер за допомогою прийомів елімінування можна розрахувати вплив нових факторів на коефіцієнт рентабельності авансованого капіталу, при цьому зростання результативного показника в моделі цілком логічно обумовлюється збільшенням балансового прибутку в розрахунку на 1 грн. реалізованої продукції, зменшенням коефіцієнта фондомісткості та підвищенням коефіцієнта оборотності оборотних коштів.

Отже, внаслідок використання методу математичних перетворень досягається можливість суттєвого збільшення кількості досліджуваних факторів, що сприяє, у свою чергу, знаходженню додаткових потенційних резервів поліпшення узагальненої характеристики об’єкта дослідження.

Так, у базовій економіко-математичній моделі визначення рентабельності авансованого капіталу розраховується вплив тільки трьох факторів:

1) зміни балансового прибутку підприємства;

2) зміни середньорічної вартості основних виробничих фондів;

3) зміни середньорічної вартості оборотних коштів.

Відповідно після проведених математичних перетворень з’являється можливість дослідити ще три додаткові фактори:

1) зміну балансового прибутку на 1 грн. реалізованої продукції;

2) зміну коефіцієнта фондомісткості;

3) зміну коефіцієнта оборотності оборотних коштів.

Якщо зв’язок між узагальненим показником, що аналізується, і факторами є не функціональним, а має ознаки стохастичної залежності, доцільним є застосування статистичних методів, а також теорії імовірностей. У числі статистичних методів застосовуються класичні методи одновимірних і багатовимірних сукупностей, варіаційні ряди, закони розподілу, вибір даних, кореляційно-регресійний та дисперсійний аналіз.

Найбільш широко в економічному аналізі застосовуються методи парної і множинної кореляції. За допомогою цих методів є можливим визначення не функціональної, а стохастичної причинно-наслідкової залежності між економічними явищами, тобто вивчення дії факторів, що мають тенденційний вплив на об’єкт дослідження. Так, унаслідок дії фактора підвищення кваліфікації робітників продуктивність їхньої праці набуває тенденції до зростання. При цьому імовірність факторного впливу визначається щільністю зв’язку факторів з передбачуваною узагальнюючою економічною характеристикою. Щільність зв’язку вимірюється значенням коефіцієнта кореляції, що коливається в діапазоні від нуля до одиниці. Коли значення коефіцієнта кореляції перевищує 0,5, то зв’язки між факторами та узагальнюючим показником об’єкта дослідження вважаються досить щільними, що дає змогу з достатньою вірогідністю вимірювати їхній вплив. Для цього треба передовсім побудувати факторну економіко-математичну модель.

При використанні в економічному аналізі методу парного кореляційного зв’язку факторна економіко-математична модель передбачає вимірювання дії тільки одного фактора на об’єкт дослідження і має такий вигляд:

,

де Y – значення показника, що характеризує об’єкт дослідження;

Х – значення факторного показника;

а, b – коефіцієнти регресії.

Якщо значення показників Х та Y є змінними, то коефіцієнти а і b – це константи, за допомогою яких встановлено відповідність між змінними величинами. При цьому кожному відхиленню факторного показника (D Х) відповідатиме певне відхилення узагальнюючого показника (D Y). Прикладом може бути дослідження впливу екстенсивного використання обладнання в процесі виробництва, що вимірюється коефіцієнтом змінності роботи обладнання, на показник фондовіддачі. Безпосереднього пропорційного функціонального зв’язку між цими показниками немає, що не дає змоги використовувати в аналізі традиційні методи дослідження, наприклад елімінування, хоча без сумніву існує певна тенденція зростання фондовіддачі залежно від зростання коефіцієнта змінності. Справді, чим триваліший час працюватиме обладнання, тим більшим має бути і обсяг продукції в розрахунку на 1 грн. вартості основних виробничих фондів (фондовіддача). Вихідними даними для розрахунків є низка спостережень фактичних значень цих показників. Чим більше буде таких спостережень, тим вірогіднішим буде значення коефіцієнта кореляції та постійних коефіцієнтів регресії.

Значно збільшує можливості пошуку додаткових резервів підвищення ефективності виробництва застосування економіко-математичної моделі багатофакторного кореляційного аналізу. Використовуючи економіко-математичний метод множинної кореляції, визначають залежність певного узагальнюючого показника від зміни значень факторних показників. Відбір цих показників для кореляційної моделі доцільно здійснювати на базі застосування аналітичних групувань, способу порівняння паралельних і динамічних рядів, лінійних графіків, а також у процесі розв’язування завдань кореляційного аналізу на основі оцінки їхньої значущості за критерієм Стьюдента. Застосовувана в аналітичному дослідженні математична модель множинної кореляційної залежності має такий загальний вигляд:

,

де Y – значення узагальнюючого показника;

Х ₁, Х ₂, …, Х_n – значення факторних показників;

а, b ₁, b ₂, …, b_n – постійні коефіцієнти регресії.

Як і в моделі парної кореляційної залежності, значення показників Х та Y є змінними, а коефіцієнтів а і b – константами. Загальне відхилення за узагальнюючим показником (D Y) обумовлюється алгебраїчною сумою локальних відхилень (D Y ₁, D Y ₂, …, D Y_n), що виникають під впливом відповідних факторів: D Х ₁, D Х ₂, …, D Х_n. Усі факторні показники, що включаються до економіко-математичної моделі множинної кореляції, мають бути кількісно узгоджені, з усуненням можливості автокореляції. Отож взаємоузгодженість будь-яких двох факторних показників, що визначаються за допомогою коефіцієнта парної кореляції, не може бути щільною. В іншому разі (за умови перевищення коефіцієнтом кореляції позначки 0,85) один з цих показників має бути виключений з економіко-математичної моделі.

Для забезпечення достовірності встановлення зв’язків у багатофакторній кореляційно-регресійній моделі визначення постійних коефіцієнтів регресії базується на використанні великої кількості спостережень узгоджуваних показників і потребує внаслідок складності розрахунків застосування спеціальних програмних продуктів, що реалізуються за умов використання комп’ютерної електронно-обчислювальної техніки. Зважаючи на ці обставини, з метою ілюстрації використання в економічному аналізі методу множинної кореляції розглянемо умовний приклад побудови та використання багатофакторної математичної моделі, що передбачає залежність прибутку, пов’язаного з реалізацією товарної продукції, від групи факторів:

1) тривалості обороту оборотних коштів, тобто коефіцієнта оборотності (Х ₁);

2) ефективності використання трудових ресурсів, що визначається продуктивністю праці в розрахунку на одного працівника (Х ₂);

3) ефективністю використання основних фондів, що характеризується показником фондовіддачі активної частини основних фондів (Х ₃);

4) ефективністю використання матеріальних ресурсів, що визначається показником матеріаловіддачі (Х ₄);

5) якістю продукції, що визначається питомою вагою забракованої продукції в загальному її випуску (Х ₅);

6) собівартістю продукції, що характеризується показником витрат у розрахунку на 1 грн. товарної продукції (Х ₆);

7) ритмічністю випуску продукції, що визначається відповідним коефіцієнтом ритмічності (Х ₇).

За логікою економічних взаємозв’язків певні коливання значень кожного з наведених факторних показників мають у відповідний спосіб впливати на зміну узагальненого показника (прибутку від реалізації товарної продукції). Значення узагальненого показника аргументуються багатофакторною економіко-математичною моделлю кореляційно-регресійної залежності, яка визначається в результаті реалізації типових програмних продуктів за умов використання ЕОМ. Наприклад:

Коефіцієнти регресії при кожному з факторних показників свідчать про рівень впливу кожного з факторів на значення узагальненого показника (Y) за незмінної дії інших факторів. Тоді, унаслідок застосування способу ланцюгових підстановок, можна розрахувати дію кожного з факторів окремо.

Дуже ефективним вважається застосування багатофакторної моделі кореляційно-регресійного зв’язку між економічними явищами, що вивчаються в процесі перспективного аналітичного дослідження. Одержати прогнозне значення певного узагальненого показника господарської діяльності підприємства (у нашому прикладі – прибутку від реалізації товарної продукції) можна, якщо в багатофакторну модель підставити очікувані значення факторних показників. Порівнюючи прогнозне значення за результуючим показником із реально досягнутим, можна зробити оцінку, а також визначити тенденції розвитку підприємства на майбутнє, виходячи з певних економічних ситуацій, що матимуть місце або можуть скластися за умов ринкових принципів господарювання.

Серед методів математичного програмування найбільш поширеним в економічному аналізі є метод лінійного програмування. Так, вчений Л. В. Канторович розробив розрахунковий метод, що уможливлює вирішення багатьох техніко-економічних проблем, зокрема найраціональнішого розподілу робіт між виробниками, розкроювання матеріалу з мінімальними збитками тощо.

Прогнозування певних економічних явищ у процесі аналітичного дослідження відбувається за двома напрямками: цільовим і ресурсним. Реалізація першого пов’язана із необхідністю досягнення певних результативних показників і визначенням необхідних для цього ресурсів та інтенсивності їх використання. Реалізація другого напрямку передбачає прогнозування виробничих показників, виходячи з наявності певних ресурсів і фактичного характеру їх застосування. Багатоваріантність можливих способів одержання певного результату сприяє використанню в економічному аналізі математичних методів оптимального планування. За умов переходу до ринкових принципів господарювання переважає цільовий напрямок прогнозування. Засоби досягнення намічених показників виробничої діяльності, в тому числі й ресурсні, підпорядковуються цьому головному завданню. Характер використання ресурсних засобів обумовлюється організаційно-технічним рівнем виробництва, удосконалення якого має сприяти зниженню собівартості продукції, поліпшенню фінансових результатів. Загальна постановка економічного завдання, що реалізується за допомогою методу лінійного програмування, передбачає визначення оптимального варіанта виробничої програми конкретного суб’єкта господарювання для одержання максимально можливого прибутку. Цей варіант реалізується тільки за можливості певного вибору інтенсивності використання різних технологій, за допомогою яких виконується виробнича програма. Отже, побудова економіко-математичної моделі передбачає визначення оптимального переліку кількісних характеристик продукції, що виробляється. За критерій оптимальності беруть, як було вже сказано, максимальне значення прибутку. Стосовно аналітичного дослідження це означає вибір найсприятливішого для суб’єкта господарювання варіанта значень факторних показників. Економіко-математичну модель оптимальної виробничої діяльності підприємства можна створити на основі модифікації трьохфакторної виробничої функції Р. Стоуна. Модифікація моделі полягає у визначенні оптимальної виробничої програми випуску продукції за умов уведення до неї двох змінних, які притаманні ринковим умовам господарювання і визначаються на основі маркетингових досліджень. Ідеться про попит на продукцію та інформаційне очікування підвищення цін на продукцію, тобто індекс інфляції. Розв’язання такого роду завдань є дуже складним процесом, потребує спеціального математичного програмного забезпечення і може бути реалізоване тільки з допомогою електронно-обчислювальної техніки.

В економічному аналізі застосовуються також і економетричні методи, які передбачають поєднання елементів теоретичної економіки, математики і статистики. Базується використання цих методів на економічному моделюванні абстрактних економічних процесів. Зрозуміло, що модель відображає тільки певні аспекти об’єктивної дійсності, що характеризуються факторними показниками, найбільш важливими для розв’язання даного конкретного завдання аналітичного дослідження. Прикладом можуть бути матричні моделі, що відображають зв’язок витрат і результатів виробництва.

Застосовується в економічному аналізі і математичне моделювання розподільних відносин. Прикладом є побудова аналітичних таблиць з визначенням динаміки розподілу робітників за рівнем заробітної плати.

Чільне місце серед математичних методів, що застосовуються в економічному аналізі, належить методам комплексної оцінки виробничо-господарської діяльності підприємств. Сутність цих методів полягає у визначенні рейтингової оцінки кожного суб’єкта господарювання в системі сукупності певних показників. Існує багато різних варіантів розв’язання цього завдання, загальна постановка якого передбачає побудову вихідної матриці елементів, де і – порядковий номер відповідного індивідуального показника ефективності діяльності підприємства, а j – порядковий номер структурного підрозділу в їхній сукупності на підприємстві. Застосовуючи метод сум, можна розрахувати значення показника комплексної оцінки виробничо-господарської діяльності для кожного j -го структурного підрозділу підприємства (К _j) як суму показників системи:

,

де z – кількість показників у системі.

Особливість визначення результативного узагальненого показника полягає в тому, що всі показники системи повинні мати той самий напрям, тобто абсолютне збільшення значення кожного показника має свідчити про поліпшення (погіршення) відповідної характеристики ефективності виробництва (обсяг випуску продукції, прибуток, рентабельність, продуктивність праці, фондовіддача, матеріаловіддача, ритмічність випуску продукції тощо). За критеріальне значення кожного показника системи () для забезпечення їх тотожності можна взяти рівень виконання завдання щодо обсягу виробництва продукції, прибутку, рентабельності та інших характеристик ефективності виробництва на підприємстві.

Користуючись методом відстаней, можна визначити значення комплексного оцінного показника з урахуванням не тільки абсолютних значень показників, що порівнюються, а й їх наближення до найоптимальнішого значення. При цьому за оптимальний варіант можна взяти структурний підрозділ-еталон, показники економічної ефективності якого найбільш наближені до оптимальних.

Дата добавления: 2014-10-22