КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Радиус сходимости степенного ряда. Степенные ряды. Теорема Абеля
Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства равномерно сходящихся рядов. Т.1. Если члены ряда (1) непрерывные дифференцируемые функции в D, ряд сходится в этой области к сумме . И ряд (2) в области D сходится равномерно, то ряд (1) в области D можно почленно дифференцировать, т.е.
Т.2. Если члены функции ряда (1) есть непрерывные функции в области D и ряд в этой области сходится равномерно к сумме , то в области D ряд (1) можно почленно интегрировать, т.е.
О. Функциональный ряд вида (1), где - действительные числа, называющиеся степенным рядом. - если , то (2) – ряд разложенный по степеням х. Теорема Абеля: Если степенной ряд (2) сходится в точке , то он абсолютно сходится для любого х: 1) в интервале 2) если степенной ряд (2) расходится в , то он расходится для всех х в интервале . Доказательство: рассмотрим ряд (1) Пусть ряд (1) сходится в точке , т.е. (2), тогда на основании необходимого признака сходимости ряда, имеем выполняется неравенство: Перепишем (2) в виде: (3) и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов, получим ряд (4): (4) в силу неравенства каждый член ряда (4) меньше соответствующих членов геометрической прогрессии со знаменателем . (5) - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия где Рассмотрим ряд (5): Если , т.е. ряд (5) сходящийся для всех х, если . Ряд (4) (применяя признак сравнения при условии ) тоже сходится. Ряд (3) и (2) тоже сходящийся абсолютно. Доказали I часть теоремы Абеля. Доказательство II части: допустим противное: Ряд (2) сходится для всех х и удовлетворяет условию , то по 1-ой части теоремы Абеля, он абсолютно сходился бы при всех значениях . В частности, при , а это противоречит условию. ч т.д. Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости (симметричного относительно начала координат в случае ряда (2) и симметрично относительно в случае ряда (1).
Дата добавления: 2014-10-22; Просмотров: 845; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |