Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему из т линейных алгебраических уравнений с п неизвестными

(1)

Решению системы (1) должно предшествовать исследование, которое приводит к следующим основным задачам теории систем линейных уравнений:

1. Определить является ли система совместной или несовместной;

2. Если система совместна, то имеет ли она единственное решение или бесконечное множество решений;

3. Если система совместна и имеет единственное решение, то найти это решение;

4. Если система совместна и имеет бесконечное множество решений, то описать всю совокупность решений.

Составим из коэффициентов системы (1) две матрицы

где А – основная матрица, а – расширенная матрица.

Ответом на первые два поставленных вопроса является

Теорема 2 (Кронекера – Капелли). Если система линейных алгебраи-ческих уравнений является совместной, то Верно и обрат-ное утверждение.

Если же система линейных алгебраических уравнений совместна, то возможны два случая:

1. Ранг матрицы А равен числу неизвестных системы, т.е. r = п.

В этом случае, отбросив уравнения-следствия, сохраняем коли-чество уравнений, равное числу неизвестных. Затем решаем полученную систему одним из известных методов.

Пример 2. Решить систему уравнений

Здесь

Определим ранг этих матриц:

1 шаг: Прибавим ко 2-ой строке 1-ю строку, умноженную на -2;

к 3-ей строке 1-ю строку;

2 шаг: Прибавим к 3-ей строке 2-ю строку, умноженную на;

(1 шаг) (2 шаг)

Таким образом, данная система совместна, поэтому оставляем пер-вые два уравнения и решаем полученную систему

Как видим, найденные значения неизвестных удовлетворяют и треть-ему (отброшенному) уравнению.

Замечание 1. Отметим, что можно было, например, отбросив второе уравнение, оставить первое и третье уравнение и, если эта система будет совместной, то решить полученную систему

2. Ранг матрицы А меньше числа неизвестных системы, т.е. r < п.

В этом случае, также отбрасываем уравнения-следствия, оставляя только r уравнений. Но теперь оказывается, что п - r неизвестных явля-ются свободными, т.е. не связанными никакими условиями. Вследствие этого исходная система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Для решения такой системы оставим в левых частях уравнений системы r неизвестных с главным определителем, отличным от нуля, а все остальные члены перенесем в правые части уравнений. Затем решим полученную систему одним из известных методов, при этом выбранные r неизвестных будут выражены через п - r свободных неизвестных.

Пример 3. Решить систему уравнений

Определим ранги основной и расширенной матриц:

1 шаг: Прибавим ко 2-ой строке 1-ю строку, умноженную на -1;

к 3-ей строке 1-ю строку, умноженную на -2;

2 шаг: Прибавим к 3-ей строке 2-ю строку, умноженную на -1;

(1 шаг) (2 шаг)

Таким образом, данная система совместна, поэтому отбрасываем третье уравнение системы и представим ее в виде

Замечание 2. Можно было представить систему и в другом виде

Нетрудно проверить, что найденные решения идентичны.

4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений

(2)

Поскольку система (2) всегда совместна, так как то вопрос может стоять только о единственности решения системы:

1. Если r = п, то система имеет единственное нулевое решение;

2. Если r < п, то, аналогично, r неизвестных выражаем через остав-шиеся п - r и система имеет бесконечное множество решений;

Пример 4. Решить систему уравнений

Определим ранг основной матрицы:

1 шаг: Прибавим ко 2-ой строке 1-ю строку, умноженную на 2;

к 3-ей строке 1-ю строку, умноженную на -1;

к 4-ой строке 1-ю строку, умноженную на -3;

2 шаг: Прибавим к 3-ей строке 2-ю строку, умноженную на -2;

3 шаг: Прибавим к 4-ой строке 3-ю строку, умноженную на;

(1 шаг) (2 шаг)

(3 шаг)

Таким образом, r = п и данная система уравнений имеет единствен-ное нулевое решение

Дата добавления: 2014-10-22