Расстояние от точки до прямой. Уравнение прямой, проходящей через точку, с заданным угловым коэффициентом

Уравнение прямой, проходящей через точку, с заданным угловым коэффициентом

Угол между двумя прямыми

Пусть заданы уравнения двух прямых (общее и приведенное)

или у

Очевидно, что угол между

этими прямыми равен углу между

их нормальными векторами х

и. Поэтому получим

(см. лекцию 6)

(5)

Формуле (5) можно придать другой вид – через угловые коэффициенты, если считать угол острым и воспользоваться известной формулой из тригонометрии

(6)

Из формул (5-6) следуют условия параллельности и перпендикуляр-ности прямых:

1. Если прямые параллельны, то векторы коллинеарны, и тогда получаем или

2. Если прямые перпендикулярны, то их нормальные векторы также перпендикулярны, и тогда или.

2.3. Взаимное расположение двух прямых

Совместное решение уравнений прямых даёт точку пересечения этих прямых, т.е.

(7)

Тогда, если определитель системы (7)

,

то прямые имеют точку пересечения. Если же, т.е., то прямые параллельны, и здесь возможны два случая:

- прямые параллельны и не имеют общей точки;

- прямые совпадают.

2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть даны две точки у М

и Тогда, если -

текущая точка прямой, то из условия М ₂

коллинеарности векторов и

имеем О М ₁ х

(8)

Уравнение (8) – искомое уравнение прямой.

Пусть задана точка и угловой коэффициент искомой прямой k. Требуется составить уравнение прямой для данных условий. Так как угловой коэффициент задан, то уравнение будем искать в виде. Коэффициент b определим из условия прохождения прямой через данную точку. Тогда имеем

(9)

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой

Из условия перпендикулярности прямых находим угловой коэффициент k = -3, а по формуле (9) получаем

.

Пусть прямая задана общим y M ₀

уравнением и

требуется определить расстояние

от этой прямой до заданной M d

точки.

Из рисунка следует O x

(10)

Пример 2. Найти расстояние от прямой до точки

По формуле (10) получаем

Задача. Даны две вершины у

и точка - пересечения C

высот треугольника. Составить уравнения А 3 D

его сторон.

Составим уравнение стороны АВ, -3 5

как прямой, проходящей через две точки, O B x

Аналогично уравнение высоты ВD (через две точки) будет иметь вид

Составим уравнение стороны AC, перпендикулярной ВD. Тогда

Уравнение высоты AD (через две точки):

Лекция № 10. Тема 3: Линии второго порядка

Пусть в некоторой ДСК задана линия, определяемая уравнением второй степени

(1)

где коэффициенты одновременно не равны нулю. Эта линия назы-вается кривой или линией второго порядка.

Может случиться, что нет точек с действительными коорди-натами, удовлетворяющими уравнению (1). В этом случае считают, что уравнение (1) определяет мнимую линию второго порядка. Например, - это уравнение мнимой окружности.

Рассмотрим три важных частных случая уравнения (1).

Дата добавления: 2014-10-22