Случайных величин

ЛЕКЦИЯ № 7

Тема: ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

План лекции:

1. Законы распределения дискретных случайных величин:

– биномиальный закон распределения ДСВ;

– закон Пуассона (закон редких явлений);

– геометрический закон распределения ДСВ;

– гипергеометрический закон распределения ДСВ.

2. Законы распределения непрерывных случайных величин:

– равномерный закон распределения НСВ;

– экспоненциальный (показательный) закон распределения НСВ;

– нормальный закон распределения НСВ.

7.1. Законы распределения дискретных случайных величин

I. Биномиальный закон дискретных случайных величин

Опр.: Если производится независимых испытаний, в каждом из которых событие может произойти с одной и той же вероятностью то дискретная случайная величина – число наступлений события в независимых опытах – подчиняется биномиальному закону распределения с параметрами и Коротко ~

Число наступлений события может принимать целые неотрицательные значения Вероятность того, что случайная величина примет значение может быть вычислена по формуле Бернулли. Тогда аналитическая форма закона распределения имеет вид: .

Ряд распределения в общем виде:

Основные числовые характеристики:

Задача 7.1: Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения в табличной форме и числовые характеристики для дискретной случайной величины – числа появлений «6». Какова вероятность того, что «6» выпадет хотя бы раз?

Решение:

Наибольшая вероятность соответствует значению поэтому Вероятность того, что «6» выпадет хотя бы раз, вычислим через вероятность противоположного события

II. Закон Пуассона (закон редких явлений)

Опр.: Если производятся независимые испытания, количество которых не ограничено, и в каждом опыте событие может произойти с одной и той же вероятностью причем то дискретная случайная величина – число наступлений события в независимых опытах – подчиняется закону распределения Пуассона с параметром . В кратком обозначении:

Число наступлений события принимает целые неотрицательные значения Вероятность того, что случайная величина примет значение , можно найти по формуле Пуассона. Тогда аналитическая форма закона имеет вид:

Ряд распределения в общем виде:

Как и для случая биномиального распределения, испытания производятся по схеме Бернулли, поэтому Основные остальные числовые характеристики .

Замечание 1: Закон Пуассона является предельным случаем биномиального при больших и малых

Замечание 2: Так как вероятность появления события в единичном опыте мала, то есть событие происходит редко, то закон Пуассона еще называют законом редких явлений.

Замечание 3: Так как , то по смыслу математического ожидания – есть среднее число наступлений события в опытах.

Замечание 4: Ряд распределения заполняется с помощью табл. (Прил. I).

Задача 7.2: Автоматическая телефонная станция получает в среднем 300 вызовов в час. Найти закон распределения и числовые характеристики числа вызовов в данную минуту. Найти вероятность того, что в данную минуту будет не менее двух вызовов.

Решение:

Событие состоит в том, что вызов поступит именно в данную из 60 минут часа. Поэтому по классическому определению. По условию задачи среднее число вызовов в минуту равно 300:60 = 5то есть

Вероятности находим по табл. (Прил. I) значений функции . Из этой же таблицы легко видеть, что наибольших вероятностей две: они соответствуют значениям и поэтому значений моды два:

Вероятность получения не менее двух вызовов в данную минуту – есть вероятность того, что дискретная случайная величина примет значение большее, либо равное 2. Удобнее использовать вероятность противоположного события, состоящего в том, что случайная величина примет значение меньше 2. Это произойдет, если вызов будет один или их не будет совсем:

III. Геометрический закон распределения дискретных случайных величин

Опр.: Если в каждом из независимых испытаний событие может произойти с одной и той же вероятностью отличной от нуля и единицы, то дискретная случайная величина – число испытаний до первого наступления события – подчинена геометрическому закону распределения с параметром Коротко

До наступления события нужно выполнить хотя бы одно испытание, а вообще количество опытов здесь потенциально неограниченно, поэтому дискретная случайная величина может принимать любые натуральные значения . Аналитическая форма закона распределения имеет вид:

Ряд распределения в общем виде:

Основные числовые характеристики:

Задача 7.3: Экспериментатор ставит сложный опыт до тех пор, пока не получит положительный результат. Вероятность того, что конкретный опыт будет удачным, равна 0,2. Найти закон распределения и числовые характеристики количества проделанных опытов. Постановка опыта занимает 1 час. До обеденного перерыва осталось 3 часа. Какова вероятность до обеда получить положительный результат?

Решение:

IV. Гипергеометрический закон распределения дискретных случайных величин

Опр.: Пусть в совокупности из объектов объектов обладают заданным свойством. Если из этой совокупности наудачу извлекаются без возвращения объектов, то дискретная случайная величина – число объектов в выборке, обладающих заданным свойством, подчинена гипергеометрическому закону распределения с параметрами . Или, в кратком обозначении: .

Задача 7.4: На складе в одинаковых коробках 10 дисплеев. Среди них четыре – фирмы «Sony». Наудачу взяты три коробки в компьютерный класс. Найти закон распределения и числовые характеристики количества дисплеев «Sony» среди выбранных. Какова вероятность того, что все взятые дисплеи другой фирмы?

Решение:

Дата добавления: 2014-10-23