Рівняння лінійної регресії. Метод найменших квадратів

Математична модель

Економічні задачі, які розв’язують за допомогою економетричних методів

Застосування різноманітних економетричних моделей на різних рівнях економічної діяльності дає змогу розв’язувати економічні проблеми різного рівня складності.

На рівні макроекономіки економетричними засобами досліджують закономірності у виробництві, розподілі, перерозподілі та кінцевому використанні ВВП, у яких суттєву роль відіграють державний бюджет, податкова політика, страхування, кредит, ощадна справа.

На мікрорівні економетричні дослідження передбачають наукове обґрунтування управлінських рішень, що приймаються на підприємствах різних форм власності й ураховують постійний вплив зовнішнього середовища.

Моделі можуть використовуватися для аналізу економічних і соціально-економічних показників, що характеризують відповідну економічну систему, для прогнозування їх подальшого змінювання або для імітації можливих сценаріїв соціально-економічного розвитку досліджуваної системи.

Засобами економетричного моделювання вивчають проблеми ринку, інвестицій, фінансової чи соціальної політики, ціноутворення, попиту та пропозиції тощо.

При вивченні економічних процесів та явищ часто використовується моделювання.

Модель – це спеціально створений об’єкт, на якому відтворюються певні характеристики досліджуваного явища.

Математична модель – це модель у вигляді математичних формул та інших математичних об’єктів.

Математичне моделювання – побудова математичних моделей.

Економетрична модель – це функція чи система функцій, що описує зв'язок між економічними показниками. Залежно від причинно-наслідкових зв’язків між змінними деякі з них називають незалежними (факторними), інші – залежними (результативними). Часто застосовується термін: вирівнювальна функція.

Математична модель, побудована у вигляді рівняння, носить назву рівняння регресії. Якщо це рівняння прямої

(1),

то воно носить назву рівняння лінійної регресії.

Параметр - фізичного змісту не має;

Параметр - показує, на скільки зміниться результативний показник при зміні факторного показника на одиницю.

Метод найменших квадратів полягає у виборі параметрів рівняння (1) таким чином, щоб сума квадратів відхилень емпіричних та теоретичних значень була мінімальною:

.

Необхідною умовою мінімуму функції від двох змінних є рівність нулю її частинних похідних:

(2)

Система (2) називається системою нормальних рівнянь для визначення параметрів рівняння лінійної регресії.

Приклад 1. Є дані про доходи населення та роздрібний товарообіг у грошових одиницях (таблиця 1).

Таблиця 1

Дані до задачі

№ п/п	Доходи на душу населення за місяць, грн.	Роздрібний товарообіг за місяць, млн. грн.

Ідентифікуємо змінні: доходи на душу населення за місяць, незалежна змінна;

роздрібний товарообіг за місяць, залежна змінна.

Побудуємо емпіричний точковий графік (рис. 1). Він ще носить назву діаграми розсіяння або кореляційного поля.

Рисунок 1 – Емпіричний точковий графік роздрібного товарообігу

Візуальний аналіз побудованого графіка (усі точки розташовані обіруч деякої уявної прямої) дозволяє обрати у якості рівняння регресії саме лінійну регресію (1).

Обчислимо параметри рівняння лінійної регресії. Складемо робочу таблицю для розрахунку коефіцієнтів системи нормальних рівнянь.

Таблиця 2

Розрахункова таблиця коефіцієнтів системи нормальних рівнянь

№
					147,6
					168,1
					188,6
					209,1
					229,6
Сума

Підставляємо розраховані коефіцієнти у систему (2):

Розв’язуючи цю систему, знаходимо:

Рівняння лінійної регресії має вигляд:

.

Обчислимо теоретичні значення рівнів товарообігу та занесемо результати в таблицю. Бачимо, що при зростанні доходу на 1 грн. обсяг товарообігу зростає на 2,05 млн. грн..

Складеним рівнянням можна користуватися при прогнозуванні обсягів товарообігу.

Використання нелінійних функцій у економетрії

У багатьох випадках припущення щодо лінійної залежності між певними показниками економічного явища чи процесу може не підтверджуватися даними спостережень цих показників. Тому розглянемо в якості нелінійних функцій експоненціальні функції та наведемо приклади їх використання в економетричному аналізі.

Дата добавления: 2014-10-23