Общие сведения о математических моделях

Если связь входной х и выходной у переменных объекта опи­сывается какими-либо известными физическими или химическими соотношениями, законами природы, то имеет место так называемая детерминированная (аналитическая) математическая модель. Эти модели дают ясное представление о связях их параметров с физической сущностью процессов и легко распространяются на аналогичные процессы. Знание физико-химических закономерностей исследуемого явления или объекта позволяет правильно выбрать структуру математической модели, а это чрезвычайно важно с точки зрения возможности использования ее для решения задач управления.

Однако при исследовании реальных объектов детерминированные мо­дели и методы могут быть применены довольно редко. Это объяс­няется следующими обстоятельствами.

Во-первых, технологические объекты неизбежно подвержены действию неконтролируемых возмущений – шумов. Эти шумы наклады-ваются на входные воздействия (случайные колебания минералогического и гранулометрического состава сырья), на управляющие воздействия (неточности отработки заданий регу­ляторами; ошибки, допускаемые операторами при решении задач контроля и управления технологическим процессом и т. д.).

Во-вторых, как правило, физико-химические процессы, протекающие в реальных технологических процессах, изучены теоретически не полностью и построение для них детерминированных моделей сопряжено с большими трудностями. Априорное представление, положенное в основу модели, не всегда совпадает с реальным ходом действующего процесса.

В-третьих, аналитические модели, если они и могут быть получены, иногда оказываются настолько громоздкими и сложными, что их невозможно использовать для целей исследования и решения задач управления.

Поэтому зачастую в практике приходится работать с экспери-ментальными моделями, полученными по наблюдениям за функци-онированием технологического объекта либо в режиме нормальной эксплуатации (пассивный эксперимент), либо в ходе специально проведенного (активного) эксперимента.

Методы пассивного эксперимента привлекательны своей дешевизной и простотой. Они не требуют вмешательства в процесс и не связаны поэтому с опасностью срыва режима или получения бракованного продукта. Однако методы пассивного эксперимента требуют большего времени наблюдения, если исследователь желает, чтобы проявились все интересующие его особенности объекта. В условиях отлаженных производств, когда параметры процесса изменяются в жестких технологических допусках, необходимое время наблюдения может быть очень большим.

Методы активного эксперимента предполагают вмешательство в ход процесса, нанесение пробных возмущений. В этом их крупнейший недостаток. Поскольку технологические объекты неизбежно функционируют в условиях шумов, величина пробного воздействия должна быть значительной, чтобы эффект этого возмущения был бы различим на уровне помех. Отсюда следует опасность срыва процесса, получения бракованного продукта и т. д. Тем не менее методы активного эксперимента следует стремиться применять – они позволяют при ограниченных затратах времени и средств получить исчерпывающую информацию о процессе.

Важное требование к математической модели – ее близость, идентичность в некотором смысле объекту-оригиналу. Но модель технологического процесса не должна быть копией, подробным описанием процесса. Она должна от­ражать лишь существенные для поставленной задачи (например, за­дачи управления) стороны изучаемого явления, включать наи­более существенные переменные, подконтрольные оператору.

Простота математической модели является ее важнейшим свойством. Чем более сложной является математическая модель, тем более проблематична возможность ее использования для решения задач управления. Приведем примеры некоторых математических моделей.

Зависимость степени разложения бората кальция у от про­должительности разложения х ₁, начального отношения количе­ства жидкой фазы к количеству твердой фазы х ₂, кратности соды от стехиометрии х₃, температуры x ₄ имеет вид

у = b ₀ + b _l x _l + b ₂ x ₂ + b ₃ х ₃ + b ₄ x ₄ + b ₁₃ x _l х ₃ + b ₁₄ x _l х ₄. (5.3)

Это пример экспериментальной регрессионной модели, полученной по данным специально организованных экспериментов в условиях неполного знания механизма изучаемого явления – разложения бората кальция СаО×В₂O₃ содой Na₂CO₃. Заметим, что в данном случае может быть выписано уравнение химической реакции получе­ния метабората:

СаО×В₂O₃ + Na₂CO₃ ®СаСO₃ + 2NaB₂O₃,

которое является примером детерминированной математической модели. Но эта модель никак не помогает нам решить основную задачу исследования – найти значения x_i (i = 1, …, 4), мак­симизирующие у. Именно эта особенность детерминированной (аналитической) модели заставляет нас обращаться к экспериментальной модели.

Пусть на входе одномерного линейного объекта действует случайная величина x, а на выходе имеем случайную величину y – реакцию объекта на входную перемен­ную x. Вероятностной моделью объекта, полной его характеристикой, может служить условная плотность распределения вероятностей выход­ной переменной относительно входной:

f (y/x) = f (у, x)/f (x), (5.4)

здесь f (у, х) – совместная плотность распределения вероятностей переменных x и y; f (x) – плотность распределения вероятностей входной переменной x.

Примером математической модели технологического объекта может быть обыкновенное линейное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами и нулевыми начальными условиями:

d ⁿ y/dt ⁿ + a _n-1 d ^n-1 y/dt ^n-1+ … + a ₁ dy/dt + a ₀ y = d ^m x/dt ^m + b _m-1 d ^m-1 x/dt ^m-1+ … + b ₀ x;

y( 0 ) = dy( 0 )/dt= d ² y( 0 )/dt ² = … = d ^n-1 y( 0 )/dt ^n-1. (5.5)

Применяя к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа по комплексному параметру p, можно получить соответствующую этому уравнению передаточную функцию

. (5.6)

Математические модели химических процессов обычно удовлетвори-тельно описываются передаточными функциями следующего вида:

W(p) = ke ^{- p t} (T ² p ² +2 Tpx +1);

W(p) = kpe ^{- p t} (T ² p ² +2 Tpx +1), (5.7)

где k – передаточный коэффициент объекта; t – величина запаздывания; x – коэффициент затухания.

Дата добавления: 2014-10-23