Основные характеристики (функции) систем. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения. В общем случае элементы и системы автоматического регулирования могут описываться линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами следующего вида:

а0	d ^ny	+ a1	d ^n^-1y	+…+an-1	dy	+ an ∙y =
dt^n	dt ^n^-1	dt
b0	d ^mх	+ b1	d ^m^-1х	+…+bm-1	dх	+ bm ∙х	, (Б.1)
dt ^m	dt ^m-1	dt

где x - входная переменная, y - выходная, и в реальных системах n > m.

Преобразование Лапласа. При исследовании сложных систем в теории автома­тического управления используют преобразование функции веществен­ного переменного (оригинала) x(t) в функцию комплексного перемен­ного p = a + j ω, называемого преобразованием Лапласа:

. (Б.2)

Символически преобразование Лапласа изображается как X(p) = L [ x(t) ].

Применение преобразования Лапласа превращает дифференциальные уравнения в алгебраические, что упрощает дальнейшее решение задач по описанию и расчету систем управления.

Передаточная характеристика. Применяя преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению (Б.1) с нулевыми начальными условиями (при t= 0, x(t) = 0, x'(t) = 0 и т.д.), получим уравнение, записанное в операторном виде:

(a_ор ⁿ + a₁p ^n-1 + … + a_n-1p + a_n) Y(p) =

(b₀p ^m + b₁p ^m-1 + … + b_m-1p + b_m) X(p). (Б.3)

Из этого уравнения получается выражение для передаточной функции:

W (p)=	Y(р)	=	b0p ^m + b1p ^m-1+ … + bm-1p + bm	=	В(р)	. (Б.4)
Х(р)	aор ^n+ a1p ^n-1 + … + an-1p + an	А(р)

Таким образом, передаточной функцией W(p) называется отношение преобразований Лапласа выходной величины к преобразованию Лапласа входной величины, найденных при нулевых начальных условиях.

Для быстрого определения W(p) по виду исходного дифференциального уравнения (Б.1) существует формальное правило: необходимо предварительно заменить все производные на p в соответствующей степени, а затем разделить правую часть уравнения на левую (например, d²x/dt² заменяют на p², dx/dt на p, х на 1 и т.д.).

Импульсная характеристика. Импульсная характеристика g(t) — это реакция предварительно невозмущенного объекта (то есть объекта с нулевыми начальными условиями) на входной сигнал в виде d -функции (импульс с единичной площадью и бесконечно малой длительностью).

Переходная характеристика. Переходная характеристика h(t) — это реакция предварительно невозмущенного объекта на входной сигнал в виде единичного скачка. Из теории управления известны следующие соотношения между этими характеристиками:

L [ g(t) ] = W(p), g(t) = h¢ (t), L [ h(t) ] = W(p)/p. (Б.5)

При нулевых начальных условиях связь между выходным и входным сигналами описывается интегралом свертки:

, (Б.6)

или в операторной форме:

Y(р) = W(p)×X(р). (Б.7)

Частотные характеристики. Частотные характеристики объекта определяются его комплексным коэффициентом передачи W(jw)=W(p) | _p=jw,, который является Фурье-преобразованием g(t). Модуль комплексного коэффициента передачи | W(jw) | =А(w) представляет собой амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) объекта с передаточной функцией W(p), а аргумент arg(W(jw))=j(w) — фазочастотную характеристику (ФЧХ).

Графическое представление W(jw) на комплексной плоскости при изменении частоты w от 0 до ¥, то есть график амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) в полярных координатах, в отечественной литературе называется годографом, а в англоязычной — диаграммой Найквиста. В теории управления часто используется логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ), равная 20 lg | W(jw) |.

Дата добавления: 2014-10-23