Производная и дифференциал высшего порядка

Т.к. y’ сама является функцией, то естественно поставить вопрос о наличии ее производной, т.е. (y’)’. Все это можно обобщить определением:

производная от производной порядка n-1 называется производной порядка n.

Соответственно записывают символ такой производной y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’. Если использовать для обозначения символ дифференциала, то получим иные обозначения производной порядка n. y⁽ⁿ⁾== = и т.д. В самом деле по определению имеем y’’=(y’)’=(f’(x)dx)’=(f’’(x)dx)dx=f’’(x)d²x. Откуда и получаем в виде обобщения записанное ранее.

Из этого определения вытекают и все свойства такой производной.

Рассмотрим несколько частных случаев производной порядка n.

Пусть y=uv. Тогда y’=u’v+v’u. Затем y’’=u’’v+2u’v’+v’’u. Обобщаем и получаем

(uv)⁽ⁿ⁾ =u⁽ⁿ⁾ v+n u^(n-1) v’++…+ uv⁽ⁿ⁾. коэффициенты такой формулы можно сразу выписать, если использовать треугольник Паскаля.

Пусть функция задана параметрически . Тогда известно, что y’=. Если теперь попытаться найти y’’, то сделать это будет проблематично, т.к. получено выражение, зависящее от t,но не от х. Обойдем это затруднение так – имеем

y’’=(y’)’=y’=()====.

Можно поступить иначе

y’’=(y’)’=y’=()=()==.

Контрольные вопросы и задания для самостоятельной подготовки:

1. Определение производной.

2. Физический и геометрический смысл производной.

3. Вычисление производной на основе её определения.

4. Непрерывность дифференцируемой функции.

5. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

6. Производная сложной, обратной и параметрически заданной функции.

7. Вычисление производных основных элементарных функций.

8. Применение производной в экономике. Предельные показатели в микроэкономике. Эластичность экономических показателей. Максимизация прибыли.

9. Определение и геометрический смысл дифференциала.

10. Приближённые вычисления с помощью дифференциала.

11. Понятие производной п - ного порядка.

12. Найти производную функции ;

13. Найти производную функции ;

14. Найти производную функции

15. Найти производную функции

16. Найти производную функции

17. Найти производную функции

18. Найти производную функции

19. Найти производную функции

20. Найти производную функции

21. Найти производную функции

22. Найти производную функции

23. Найти производную функции

24. Найти производную функции

25. Найти производную функции

26. Найти производную функции

27. Найти производную функции

28. Найти производную функции

29. Найти производную функции

30. Найти производную функции

31. Найти производную функции

32. Найти производную функции

33. Найти производную функции

34. Найти производную функции неявной функции

35. Найти производные второго порядка функции .

Тема 8. Приложения производной

Рассматриваются основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лолиталя. Возрастание и убывание функций. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Приложение производной в экономической теории.

Дата добавления: 2014-10-23