Гипотеза Ньютона

Напряжения сил вязкости, обобщенная

Рассмотрим механику переноса количества движения, вследствие которого возникают поверхностные силы трения в движущихся жидкостях и газах. В отличие от идеальных жидкостей, в которых имеют место только нормальные составляющие поверхностных сил, в реальных жидкостях наличие вязкости вызывает появление касательных составляющих и изменяет величину нормальных составляющих.

По первой теореме Гельмгольца скорость частицы складывается из поступательной, вращательной и деформационной составляющих, следовательно, внутреннее трение в жидкости может возникать только при наличии деформации жидкого объема. Тогда естественно, что компоненты напряжения поверхностных сил должны зависеть от составляющих скоростей деформации.

Еще Ньютон показал, что в случае движения реальной жидкости параллельно некоторой плоскости касательное напряжение между двумя слоями, отнесенное к единице длины, будет пропорционально производной от скорости по нормали к направлению движения

. (5.17)

Если задать прямолинейное движение в плоскости ху параллельно оси x, то величина будет являться компонентой напряжения и равна

, (5.18)

при направлении движения параллельно оси у получим

. (5.19)

Следовательно, при произвольном движении в плоскости ху напряжение сил трения, равное одной из касательных компонент , входящих в тензор напряжений, будет равно

. (5.20)

Соответственно для плоскостей xz и уz получим

; (5.21)

. (5.22)

Соотношения (5.20) - (5.22) являются обобщением формулы Ньютона (5.17) и, таким образом, выражают обобщенный закон Ньютона для касательных напряжений. Коэффициенты пропорциональности во всех случаях являются коэффициентами вязкости.

При не очень больших градиентах скоростей компоненты тензора напряжений являются линейными функциями от составляющих тензора скоростей деформации.

Для нахождения нормальных составляющих напряжений необходимо, кроме обобщенного закона Ньютона о линейности связи напряжений и скоростей деформации, сделать еще допущение о том, что компоненты нормальных напряжений при отсутствии вязкости должны приводиться к нормальным напряжениям, не зависящим от выбора направления площадки. Обозначим эти не зависящие от направления площадки напряжения временно буквой А. Тогда компоненты нормальных напряжений

. (5.23)

При этом и отличны от нуля только в вязкой жидкости. Если линейную связь между величинами ,и соответствующими компонентами тензора скоростей деформаций представить в виде

, (5.24)

то выражения для запишутся

(5.25)

Величина А, не зависящая от выбора направления площадки, т.е. одинаковая для всех нормальных компонент напряжения, может быть найдена из соотношений (5.25)

. (5.26)

Если (как и в идеальной жидкости) принять для вязкой жидкости или газа допущение, что давление в точке есть взятое с обратным знаком среднее арифметическое трех нормальных напряжений, приложенных к взаимно перпендикулярным площадкам в этой точке, то

, (5.27)

и величина А будет равна

. (5.28)

Подставив найденное значение для А в соотношения (5.25), окончательно получим выражение обобщенного закона Ньютона для нормальных составляющих напряжений

(5.29)

Таким образом, соотношения (5.20) - (5.22) и (5.29) выражают обобщенный закон Ньютона для связи напряжений и скоростей деформаций.

Жидкости, у которых связи компонентов тензора напряжения и компонентов тензора скоростей деформации выражаются соотношениями (5.20) - (5.22) и (5.29), называются ньютоновскими или просто вязкими жидкостями. Опытом установлено, что эти соотношения сохраняются для всех газов и большинства реальных жидкостей, таких как вода, спирты, керосин, жидкие металлы, многие масла.

Дата добавления: 2014-10-31