КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
И бароклинные течения
Для разных случаев движения. Баротропные Интегралы уравнения движения жидкости
Если во всей области движения , то существует потенциал скорости , т.е. (6.11) или . (6.12) Тогда уравнение Эйлера в форме Громека примет вид . (6.13) Следовательно, выражение в скобках может зависеть только от времени, а от координат не зависит. Интеграл этого уравнения будет , (6.14) где определяется из граничных условий. Этот интеграл уравнения Эйлера называется интегралом Коши для потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости. Когда массовые силы являются только силами тяжести, потенциал этих сил принимает вид U = gz, а интеграл Коши . (6.15) В уравнении (6.15) имеется два неизвестных и р, поэтому для решения задачи следует воспользоваться уравнением неразрывности . (6.16) Подставляя в это уравнение значения проекций скорости, получим . (6.17) Уравнение (6.17) является уравнением Лапласа, решая которое можно найти . Подставив значение в уравнение (6.15) и имея в виду, что , (6.18) определим давление р. Произвольная функция будет найдена по величине р(t) в некоторой точке. Если движение стационарно, т.е. , то уравнение (6.15) примет вид . (6.19) Этот интеграл уравнений Эйлера называется интегралом Бернулли для потенциального стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости. Постоянная будет одной и той же для всей области потенциального потока. Из уравнения Бернулли видно, что во всей области безвихревого потока энергия жидкости в единице массы остается постоянной. Первое слагаемое выражения (6.19) является кинетической энергией, второе - потенциальной и третье - работой сил давления. Умножив все слагаемые уравнения (6.19) на величину плотности, получим интеграл Бернулли в виде суммы слагаемых, имеющих размерность давления
, (6.20) где р - пьезометрический напор; - скоростной или динамический напор; - геометрический напор; - полный напор. В соответствии с уравнением (6.20) сумма динамического, пьезометрического и геометрического напоров во всей области потенциального потока остается величиной постоянной. Разделив обе части уравнения (6.19) на g, получим уравнение Бернулли в виде . (6.21) Каждый член, входящий в уравнение (6.21), имеет размерность длины. Величину называют динамической высотой, - пьезометрической и z - геометрической высотой. Согласно уравнению (6.21) сумма динамической, геометрической и пьезометрической высот во всей области потенциального потока остается величиной постоянной. При отсутствии массовых сил интеграл Бернулли запишется в виде (6.22) или . (6.23) Если в уравнении (6.19) скорость V будем считать равной нулю, то получим интеграл уравнения Эйлера для гидростатики . (6.24) Для того чтобы проинтегрировать уравнения Эйлера (6.2) вдоль линии тока, проделаем некоторые преобразования. Умножим уравнения (6.2) соответственно на dx, dy, dz . (6.25) Затем, сложив почленно и разделив на , получим . (6.26) Отдельные слагаемые левой части уравнения, имея в виду стационарность потока, представим в виде (6.27) Уравнение (6.26) будет справедливо лишь на линии тока, если между элементами дуги и скоростью будут соблюдаться соотношения (6.27) или . (6.28) Используя последние равенства, получим ; (6.29) так как выражение в скобках представляет собой полный дифференциал. Окончательно левая часть уравнения (6.26) может быть представлена следующим образом
. (6.30) Тогда, полагая наличие потенциала массовых сил, уравнение (6.26) запишем в виде (6.31) или . (6.32) При постоянной плотности, что соответствует несжимаемой жидкости, получим . (6.33) Интегралом этого уравнения будет
(6.34) или, имея в виду выражение потенциала сил тяжести, запишем . (6.35) Выражение (6.35) называется интегралом или уравнением Бернулли для линии тока. Уравнение (6.35) тождественно с уравнением Бернулли для потенциального потока. Различие состоит в том, что при потенциальном потоке постоянная С сохраняет свое значение для всей области потока, а при вихревом потоке каждая линия тока имеет свое значение постоянной С. В случае вихревого движения постоянная С сохраняет свое значение и вдоль вихревой линии. Когда плотность жидкости не постоянна, вид интеграла Бернулли определяется зависимостью плотности жидкости от параметров потока. Наиболее простым с точки зрения математики является движение, при котором плотность есть функция только от давления. Жидкости, плотность которых есть функция давления, называются баротропными. Для баротропных жидкостей плотность равна . (6.36) Тогда уравнение (6.32) для стационарного потока при наличии потенциала массовых сил будет . (6.37) Если ввести интеграл в виде , (6.38) то получим (6.39) или . (6.40) Последнее выражение есть интеграл Бернулли для баротропного движения. Интеграл Бернулли для одномерного баротропного движения при отсутствии массовых сил имеет вид , (6.41) где Р - так называемая функция давления, значение которой определяется из выражения (6.36) при заданной связи между плотностью и давлением. Для изотермического процесса функция давления равна , (6.42) следовательно, интеграл Бернулли будет иметь вид . (6.43) Жидкости, плотность которых есть функция не только давления, но и температуры, называют бароклинными. При течении бароклинных жидкостей их плотность определяется в виде . (6.44) Интеграл Бернулли является одним из основных уравнений гидравлики (механики жидкости и газа) и широко применяется в различных своих формах.
Дата добавления: 2014-10-31; Просмотров: 687; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |