Тема: метод Ньютона (метод дотичних)

Лабораторна робота 4.

Завдання.

Контрольні питання.

1. З яких етапів складається знаходження наближених коренів рівняння методом простої ітерації?
2. В чому полягає алгоритм методу простої ітерації?
3. Чи може значення λ змінюватись в області визначення функції f (x) у методі простої ітерації?
4. За яких умов збіг ітерацій методу простої ітерації буде найшвидшім?
5. Що можна зробити, якщо на відрізку ізоляції кореня знак f′′ (x) змінюється і отже умови застосування методу простої ітерації не виконані?
6. Яку точку треба обрати за початкову точку методу простої ітерації?
7. Якщо зміна значень послідовних ітерацій методу простої ітерації припинилась, то чи є це відповідь, тобто наближений корінь даного рівняння з даною точністю?

Знайти відрізки ізоляції коренів даного рівняння на відрізку [– 10; 10] і розв’язати його на кожному з цих відрізків методом простої ітерації з точністю e = 0,5*10^-6.

№	Рівняння
	2^x + 5x – 3 = 0
	x^2+ 4sin x – 1= 0
	x^2- 20sin x – 1= 0
	3x – cos x –1 = 0
	сtg x – 0.5x = 0
	2^x (x-2)^2 – 1 = 0
	x^2– cos x = 0
	(x - 3)cos x– 1 = 0
	x^3 – 3x^2 – 24x – 5 = 0
	x^3– 2x – 5 = 0

Література:

1. Бахвалов Н.С. Численные методы – М: Наука, 1973. т. 1. – 631с.
2. Вейцбліт О.Й. Основи чисельних методів математики (з використанням Excel) – Херсон: Видавництво ХДУ, 2011. – 280 с.
3. Лященко М.Я., Головань М.С., Чисельні методи – К: Либідь, 1996 – 288с.

(2г.)

Мета: Отримати відомості про метод Ньютона обчислення кореня на відрізку ізоляції

з наперед заданою точністю та навчитися застосовувати цей метод до конкретних задач.

Теоретичні відомості.

Формула

х_k+1 = х_k – (k = 0, 1, 2, …)

визначає ітераційний метод Ньютона обчислення кореня рівняння f (x) = 0 на відрізку його ізоляції.

Для застосування методу Ньютона необхідно забезпечити наступні передумови.

1. Треба знайти відрізок ізоляції шуканого кореня.

2. Треба забезпечити, щоби на відрізку ізоляції не змінювалися знаки у першої та другої похідних, зменшуючи при необхідності початковий відрізок ізоляції.

3. За початкове наближення можна брати будь – яку точку х відрізку ізоляції, у якій виконується умова f (х) ∙ f′′ (х) > 0.

Хід роботи.

Задача. Р озв‘язати рівняння f (x) = 2^х + 5x – 3 = 0 на відрізку [– 10; 10] з точністю e = 0,5*10^-5 методом Ньютона.

1. Відокремлення коренів рівняння на відрізку [– 10; 10].

Ця задача уже була розв’язана у лабораторній роботі 2 і там був знайдений відрізок ізоляції [0;1] для єдиного кореня даного рівняння.

2. Умови застосовування методу.

Незмінність знаку першої похідної була перевірена в лабораторній роботі 2 при всіх х. Друга похідна f′′ (х) = 2^х(ln 2)² > 0 при всіх х. Отже на [0;1] знак f′′ (х) не змінюється.

3. Початкове наближення.

Оскільки f (1) = 4, звідки f (1) ∙ f′′ (1) > 0, то за початкове наближення можна взяти точку 1.

4. Знайдемо корінь на відрізку ізоляції з точністю e = 0.5*10^-5 методом Ньютона.

Надамо чарункам електронної таблиці таких значень:

	A	B	C
		= 2^A1 + 5*A1 – 3	= 2^A1*ln2 + 5
	= A1 – B1/C1	↓	↓
	↓	↓	↓

Тут у А1 початкова точка 1, у В1 значення f (x) при х = А1, у С1 – значення f′ (х) при х = А1, у А2 задано формулу метода Ньютона х_k+1 = х_k – . Далі копіюємо ці формули і в результаті дістанемо:

	A	B	C
			6,386294361
	0,373658686	0,163927839	5,898065336
	0,345865193	0,000238894	5,880929713
	0,345824571	5,03792E-10	5,880904909
	0,345824571		5,880904909
	0,345824571		5,880904909

Тут стабілізація здійснилась за п’ять кроків при максимально можливому для комп’ютера числі значущих цифр у чарунці (на відміну від методу дихотомії, де вона відбулась лише при 23 ітераціях, та й то з меншим числом значущих цифр).

Перевірка.

Перевіримо правильність отриманого розв’язку безпосередньо. А саме надамо чарункам таких значень:

	A	B	C
	= А6 + 0,5*10^-^5
	= А6 – 0,5*10^-^5

У стовпці В значення функції f (x) приймаються автоматично. В результаті отримаємо:

	A	B	C
	0,345824571		5,880904909
	0,345834571	5,88091E-05	5,880911015
	0,345814571	-5,8809E-05	5,880898803

Оскільки f (0,345824571 + 0,5*10^-5) > 0, a f (0,345824571 – 0,5*10^-5) < 0, то відмінність значення 0,345824571 від точного значення кореня не перевищує e = 0,5*10^-5, тобто це значення є єдиним коренем рівняння f (x) = 0 з точністю 0,5*10^-5.

Дата добавления: 2014-10-31