П. 1 Уравнения плоскости

Плоскость в пространстве

П. 2. Взаимное расположение прямых на плоскости

Пусть заданы прямые l₁ и l₂

Угол между прямыми l1 и l2

Необходимое и достаточное условие параллельности прямых l₁, l₂

k₁ = k₂

Необходимое и достаточное условие совпадения прямых l₁, l₂

k₁ = k₂, b₁ = b₂

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых l₁, l₂: k₁ k₂= -1

Расстояние между параллельными прямыми

Координаты точек пересечения прямых l₁, l₂

Условие пересечения трех прямых на плоскости в одной точке

Совокупность всех прямых плоскости, проходящих через точку М₀ (x₀, y₀) называется пучком прямых с центром М₀. Уравнение пучка . Придавая отношению определенное значение, получаем некоторую прямую. Уравнение пучка, задаваемое двумя прямыми из пучка: .

Любая плоскость в прямоугольной декартовой системе может быть задана уравнением

(1),

где , и наоборот, всякое уравнение первой степени вида (1) определяет плоскость.

Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости, вектор является ортогональным к плоскости и называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение плоскости с нормальным вектором и, проходящая через точку М₀ (x₀, y_0, z₀)

a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) =0

Уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (x₀, y_0, z₀) в направлении неколлинеарных векторов

a) векторное уравнение

b) параметрические уравнения

в)

Уравнение плоскости, проходящей через три точки М_i(x_i, y_i, z_i), i= 1, 2, 3

Уравнение плоскости, проходящей через две точки М₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂) и параллельной вектору

Уравнение плоскости в отрезках

, где a, b, c – длины отрезков, отсекаемых на осях координат с учетом знаков.

Уравнение плоскости, не являющейся параллельной оси oz

z = ax + by + c

Расстояние от точки М₀ (х₀, у₀, z₀) до плоскости

Нормальное уравнение плоскости , где

p – расстояние от начала координат до плоскости,

p=OH, Н – основание перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат, - углы, образованные вектором с осями координат ox, oy, oz.

Дата добавления: 2014-10-31