Тема 3.2. Дробно-линейное программирование

Рассмотрим решение нескольких задач дробно-линейного программирования. В них целевая функция является дробно-линейной, а ограничения на ее аргументы – линейные.

Пример. оптимум?

х ₁³0, х ₂³0.

Решение. Построим область АВСDЕ решения неравенств.

Рис. 3.4. Геометрический метод

Преобразуем целевую функцию.

, где , х ₂ = kx ₁.

Выясним как изменение углового коэффициента k влияет на значение целевой функции.

.

Таким образом с увеличением k функции f убывает. Теперь, вращая прямую х ₂ = k ₁ x получаем, что:

, где ; ,

где .

Следующую задачу дробно-линейного программирования мы решим путем сведения ее к задаче линейного программирования.

Пример. оптимум?

х ₁³0, х ₂³0, х ₃³0.

Решение. Пусть

, у ₁ = х ₁ у ₀, у ₂ = х ₂ у ₀, у ₃ = х ₃ у ₀.

Тогда:

f = (2 x ₁ + x ₂)y₀ = 2 x ₁y₀ + x ₂ y ₀ = 2 y ₁ + y ₂ и

Общим решением этой системы является точка

М (t; 1-2 t; t; 3 t -1), а базисными решениями являются точки М ₁(0; 1; 0; -1), , М ₃(0; 1; 0; -1), , причем, из них допустимыми являются М ₂ и М ₄. Следовательно,

, .

По найденным значениям у ₀, у ₁, у ₂, у ₃ находим значения х ₁, х ₂, х ₃ и получаем оптимальные планы (1; 1; 0) и (0; 1; 1), причем

f _max = f(1; 1; 0) = 1, f _min = f(0; 1; 1) = .

Дата добавления: 2014-10-31