Система m линейных уравнений с n переменными

Метод Жордана-Гаусса.

Суть метода Жордана-Гаусса заключается в построении такой ступенчатой матрицы, вдоль главной диагонали которой будут стоять лишь одни единицы. Затем, не производя обратного хода, как это было в методе Гаусса, нужно продолжать элементарными преобразованиями снизу вверх обращать в нули элементы, стоящие над гловной диагональю, до тех пор, пока слева до черты в расширенной матрице не будет стоять единичная матрица. Тогда справа получим решение системы уравнений. Это один из самых простых и изящных способов решения систем линейных уравнений.

Пример. Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса:

Ранее было установлено, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (Гл.2 §5). Поэтому, если строкирасширенной матрицы А^*, т.е. уравнения системы (1.1), линейно независимы, то ранг матрицы А^* равен числу ее уравнений, т.е. r=m; если линейно зависимы - то r < m.

Вопрос о разрешимости системы (1.1) в общем виде рассматривается в следующей теореме:

Теорема Кронекера – Капелли.

(условие совместности системы)

(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)

Теорема: Система линейных уравнений совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

r(A) = r(A^*).

Очевидно, что система (1.1) может быть записана в виде:

x₁+ x₂ + … + x_n

Дата добавления: 2014-10-31