Применение вспомогательных сфер с постоянным центром

Общие положения. Известно, что если ось поверхности вращения проходит через центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхнос­ти вращения — окружность, плоскость которой перпендику­лярна оси поверхности вращения. При этом, если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии. На рисунке 10.3 показана фронтальная про­екция пересечения сферой радиуса R поверхностей враще­ния — конуса, тора, цилиндра, сферы, оси которых проходят через центр сферы радиуса R и параллельны плоскости V. Окружности, по которым пересекаются указанные поверх­ности вращения с поверхностью сферы, проецируются на плоскость Vb виде отрезков прямых. Это свойство исполь­зуют для построения линии взаимного пересечения двух по­верхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При этом могут быть использованы концентрические и неконцент­рические сферы. В данном параграфе рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер—сфер с постоянным центром.

Способ секущих сфер с постоянным центром для построе­ния линии пересечения двух поверхностей применяют при сле­дующих условиях:

1) обе пересекающиеся поверхности— поверхности вращения;

2) оси поверхностей вращения пересекаются; точку пересечения принимают за центр вспомога­тельных (концентрических) сфер;

3) плоскость, образованная ося­ми поверхностей (плоскость симмет­рии), должна быть параллельна плоскости проекций. В случае, если это условие не соблюдается, то, чтобы его обеспечить, прибе­гают к способам преобразования чертежа.

Способ вспомогательных сфер с

ПОСТОЯННЫМ центром, ПОКазаННЫЙ Рис. 10.3

на рисунке 10.4, применен для по­строения линии пересечения кру­гового конуса с поверхностью, состоящей из тора и цилиндра. Тор и цилиндр имеют общую ось вра­щения, пересекающуюся с осью конуса в точке с проекцией о' Обе оси принадлежат плоскости, па­раллельной плоскости V (фрон­тальной плоскости).

Рис. 10.4

Построение линии пересечения конуса с тором. Заметим, что линия пересечения конуса с тором в данном случае симмет­рична относительно фронтальной плоскости, проходящей че­рез оси пересекающихся поверхностей. Фронтальные проекции видимого и невидимого участков линии пересечения совпада­ют. Поэтому в дальнейшем изложении будут указываться по­строения проекций только видимых точек линии пересечения. Характерными точками искомой линии пересечения являются высшая с проекцией Г, низшая с проекцией е'и ближайшая к оси тора с проекцией с'. Проекция Г определяется точкой пересечения фронтальных проекций очерков тора и конуса. Проекция е' построена с помощью сферы R₃. Она пересекает тор и цилиндр по окружности, проецирующейся в отрезок пря­мой, проходящей через проекцию 10' перпендикулярно их оси, и конус по окружности, проецирующейся в отрезок прямой, проходящей через проекцию 11 'перпендикулярно оси конуса. Проекция с'построена с помощью вспомогательной сферы ми­нимального радиуса Лпи_П. Его находят как радиус сферы, ка­сательной к одной из поверхностей вращения и пересекающей другую. В данном случае радиус такой сферы определен про­екцией 6\ в которой проекция образующей окружности R_r тора пересекает линию о'о\. Сфера радиуса R^ касается тора по окружности с проекцией 6' 7' и пересекает конус по окружнос­ти с проекцией 8'9'. Для построения проекции о'произволь­ной точки линии пересечения конуса и тора пересечем их сферой Ri с центром в точке с проекцией о'. Эта сфера пересекает конус по окружности с проекцией в виде отрезка 2'3\ тор по окружности с проекцией в виде отрезка 4'5'. В пересечении этих проекций находим проекцию а'. Аналогично строят про-

екцию любых других точек линии пересечения, например про­екцию Ъ 'с помощью вспомогательной сферы радиуса R₂.

Построение линии пересечения конуса с цилиндром. Харак­терными точками искомой линии пересечения являются высшая с проекцией е'и низшая с проекцией/'— точки пересечения фронтальных проекций очерков цилиндра и конуса. Проекция £'произвольной точки этой линии построена с помощью сферы радиуса i?4. Она пересекает цилиндр и конус по окружностям, проецирующимся в отрезки прямых, проходящих через проек­ции 12' и 13'.

Рис. 10.5

В некоторых случаях, когда при введении вспомогатель­ных плоскостей характерные точки можно построить только путем построения сложной кривой (например, для построе­ния проекций точек 7 и <?на рис. 10.5 потребуется построить гиперболу от сечения плоскостью Т (T_v)), применение вспо­могательных сфер может существенно упростить построение. Для построения проекций точек 7 и 8 удобно применить сфе­ру радиуса R с центром с проекцией о' в точке пересечения оси конической поверхности и оси сферы, перпендикулярной

плоскости W. Радиус R секущей сферы выбран таким, чтобы она пересекала заданную сферу по ее профильному меридиа­ну, проходящему через точку с проекцией /'. Коническую поверхность сфера радиуса R пересекает по окружности, про­ходящей через точку с проекциями к', к. Фронтальные про­екции 7' и 8' искомых точек являются точками пересечения фронтальных проекций окружностей в виде отрезков прямых, проходящих через точки Г и к'. Построение горизонтальных 7 и 8 проекций на горизонтальной проекции окружности, про­ходящей через точку К, и профильных 7" и 8" проекций на профильной проекции очерка сферы ясно из чертежа.

Влияние соотношения размеров поверхностей на линию их пе­ресечения. Зависимость линии пересечения поверхностей вра­щения от соотношения между собой их размеров рассмотрена на примерах пересечения двух цилиндров и цилиндра с конусом.

Изменения проекции линии пересечения вертикального и горизонтального цилиндров в зависимости от изменения соот­ношений диаметров d_x вертикального и d₂ горизонтального ци­линдров наглядно видны на рисунке 10.6. С приближением значения диаметра d_x вертикального цилиндра к диаметру d₂ горизонтального цилиндра (рис. 10.6, б) линия пересечения все больше прогибается вниз (точка В опускается). При ра­венстве диаметров (рис. 10.6, в), т. е. касании цилиндров одной сферы на линии пересечения в точке В, возникает пере­лом, а плавная линия пересечения превращается в две плоские эллиптические кривые, которые проецируются в два отрезка и плоскости которых пересекаются между собой под прямым уг­лом. При дальнейшем увеличении (рис. 10.6, г) диаметра d_l вертикального цилиндра (d_x> d₂) общее направление линии их пересечения изменяется. Такое изменение в данном случае равносильно повороту ранее приведенных изображений, на­пример (рис. 10.6, б), на 90°.

Изменение проекции линии пересечения прямых круго­вых конуса и цилиндра в зависимости от угла при вершине конуса показано на рисунке 10.7. В случаях, показанных на рис. 10.7, а, б, пересечение конуса с цилиндром происходит по линии 4-го порядка. Она проецируется на плоскость проекций, параллельную плоскости симметрии, в гиперболу и разделяет конус на две части, одна из которых прилегает к вершине, дру­гая — к основанию (конус «врезается» в цилиндр).

В случае, показанном на рис. 10.7, в, конус и цилиндр ка­саются одной сферы и пересекаются по двум плоским пересека-

ющимся между собой кривым 2-го порядка, проецирующимся в отрезки прямых. В случае, показанном на рис. 10.7, г, ли­нии их пересечения разделяют цилиндр на две части (цилиндр «врезается» в конус).

Дата добавления: 2014-11-06