Основные элементарные функции

Функциональная зависимость.

Лекция 3. Предел и непрерывность функции.

Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Х и У. Соответствие (правило), которое каждому элементы Х сопоставляет один и только один элемент У, называется функцией и обозначается или : X Y. Множество Х называется областью определения функции и обозначается . Множество называется областью значений функции и обозначается Е().

В экономике рассматриваются числовые функции, у которых и область определения и область значений являются числовыми множествами. Например, функция спроса – зависимость спроса на товар от его цены, однофакторная производственная функция – зависимость объема выпускаемой продукции от объема ресурса и другие.

Переменная называется аргументом или независимой переменной, а – зависимой переменной. Частное значение функции для значения записывается так: или .

Графиком функции называется множество всех точек плоскости с координатами ; .

Функции можно задать различными способами: аналитически, таблицей, графически, путем перечисления пар и т.д. Например, функция задана аналитически, ее область определения: , область значений: у 0. Эта функция задается графиком:

Функция называется четной, если для всех допустимых и ; нечетной, если . График четной функции симметричен относительно оси , а нечетной – относительно начала координат.

Если для любых значений и отрезка [a,b], которые допустимы из неравенства , следует неравенство , то функция называется возрастающей на этом отрезке; – убывающей на отрезке [a,b];, то не возрастающей на [a,b]. Функции с указанными свойствами называют еще монотонными; для знаков <,> строго монотонными.

Функция называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для всех из области определения (или на отрезке) M.

Функция называется периодической, если для всех допустимых существует такое число , что . При этом также принадлежит области определения. Число называется периодом функции. Периодическими являются функции , , , .

Если задана функция с областью определения и множеством значений Е, то может оказаться, что каждому значению Е соответствует единственное значение , т.е. определена функция . Такая функция (у) называется обратной к функции и обозначается . Из определения следует, что строго монотонная функция имеет обратную функцию. При этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает). Графики взаимно обратных функций и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Пусть функция определена на множестве , а функция = (x) на множестве . Тогда на множестве определена функция ( (x)), которая называется сложной функцией от х. Переменную u= (x) называют промежуточным аргументом сложной функции. Таких промежуточных аргументов может быть несколько. Например, =sin²(2x+1).

Элементарными функциями называются функции, заданные одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных (чисел) с помощью конечного числа арифметических операций +, -, ,: и операции взятия функции от функции.

Основными элементарными функциями называются следующие функции:

1. Показательная функция , , .

2. Степенная функция , где .

3. Логарифмическая функция ,

4. Тригонометрические функции , , ,

5. Обратные тригонометрические функции , , , .

Дата добавления: 2014-11-26