Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция называется бесконечно малой (б. м.) при или при , если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Функция называется бесконечно большой (б. б.) при или при , если или , т.е. бесконечно большая функция – это функция, предел которой в данной точке равен бесконечности.

Так функция является б. б. при , и является б. м. при .

Бесконечно малые (большие) функции часто называют бесконечно малыми (большими) величинами.

Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:

1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

3. Если и бесконечно малые функции, то их произведение является бесконечно малой функцией.

4. Если функция - бесконечно малая и не обращается в нуль, то является бесконечно большой функцией, если функция - бесконечно большая и не обращается в нуль, то является бесконечно малой функцией.

Связь между функцией ее пределом и бесконечно малой функцией следующая. Если функция имеет предел равный , то ее можно представить как сумму числа и бесконечно малой функции , то есть если , то .

Пусть и бесконечно малые функции и . Тогда если: 1) то функции называются эквивалентными, 2) то функции и бесконечно малые одного порядка, 3) то функция называется бесконечно малой высшего порядка относительно функции , 4) то функция называется бесконечно малой функцией высшего порядка относительно функции .

Дата добавления: 2014-11-26