Геометрический смысл решения неравенств и систем неравенств

Наиболее простым и наглядным методом Л.П. является графический метод. Он применяется для решения задач Л.П. с двумя переменными, заданными в неканонической форме, и многими переменными в канонической форме при условии, что они содержат не более двух свободных переменных (т.к. в декартовой системе координат на плоскости используются две переменные).

Пусть дана система линейных неравенств:

Уравнение определяет на плоскости Ох₁х₂ прямую, которая разбивает эту плоскость на две полуплоскости, каждая из которых лежит по одну сторону от прямой. Сама прямая называется граничной и принадлежит обеим полуплоскостям. Координаты точек, лежащих в одной полуплоскости от прямой удовлетворяют неравенству а координаты точек, лежащих в другой полуплоскости удовлетворяют неравенству

Для определения, по какую сторону от граничной прямой расположена заданная полуплоскость, надо взять произвольную точку на плоскости (лучше начало координат) и подставить координаты этой точки в неравенство. Если неравенство справедливо, то полуплоскость обращена в сторону этой точки, если несправедливо, то в противоположную от точки сторону.

Системе неравенств удовлетворяет множество точек (х₁,х₂), лежащих в пересечении полуплоскостей, заданных неравенствами системы.

Пересечение плоскостей есть некоторая многоугольная, выпуклая область D, которая называется областью решения системы неравенств.

· Множество точек называется выпуклым, если оно вместе со своими двумя точками содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки.

не выпуклый

выпуклый

Если область D ограничена, то её называют многоугольником решений системы неравенств (уравнений). Многоугольник решений - выпуклая область.

При построении области решений системы неравенств возможны следующие случаи:

открытая область единственная точк

а А

пустое множество закрытая область

Дата добавления: 2014-11-08