Доведення. Для визначеності будемо вважати, що , і тоді

Для визначеності будемо вважати, що , і тоді . Поділимо точкою на два рівних за довжиною відрізки. Тоді, або і шукана точка знайдена, або . В останньому випадку на одному з одержаних відрізків функція на лівому кінці приймає значення менше за , а на правому – більше за .

Позначимо цей відрізок через і знову поділимо його на два рівних за довжиною відрізки і так далі. В результаті або через скінченне число кроків прийдемо до шуканої точки , в якій , або одержимо послідовність вкладених відрізків , довжини яких прямують до нуля і таких, що

.

Нехай – спільна точка для всіх .

Тоді за теоремою про вкладені відрізки .

Тому, в силу неперервності функції , маємо .

З одержимо . Звідси зрозуміло, що .

Зауваження. Ми довели, що неперервна на відрізку функція, приймаючи будь-які два значення, приймає й будь-яке значення, що лежить між ними.

Наслідок 1. Якщо функція неперервна на відрізку і на його кінцях приймає значення різних знаків, то існує хоча б одна точка така, що .

Наслідок 2. Нехай функція неперервна на і , . Тоді функція приймає всі значення з відрізку і тільки ці значення.

Справді, за умовою і згідно другої теореми Веєрштраса існують такі точки і , що , . Наслідок 2 безпосередньо випливає з теореми 3 застосованій до відрізку , якщо , або відрізку , якщо .

Таким чином, множина всіх значень функції, заданої і неперервної на деякому відрізку, є також відрізок.

Теорема 4. Нехай функція визначена, строго монотонно зростає (спадає) і неперервна на відрізку . Тоді у відповідному проміжку значень цієї функції існує однозначна обернена функція також монотонно зростаюча (спадна) і неперервна.

Дата добавления: 2014-11-20