Доведення. Припустимо противне, тобто , але

Припустимо противне, тобто , але .

Розглянемо послідовність додатних чисел , . За припущенням з виконання нерівності випливає, що .

Розглянемо обмежену послідовність . За лемою Больцано – Веєрштраса з неї можна виділити збіжну підпослідовність . Нехай .

Розглянемо . Оскільки , то при

.

Отже, . З неперервності функції маємо, тобто , . З іншого боку за припущенням. Одержали суперечність. Значить, наше припущення неправильне. Отже, функція рівномірно неперервна на .

Зрозуміло, що будь-яка рівномірно неперервна функція на множині є неперервною в кожній точці множини . Теорема Кантора стверджує, що обернене є правильним для , якщо є відрізком.

6. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ОБЧИСЛЕННЯ

ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

6.1. Означення похідної

Означення. Нехай функція визначена в околі точки і –довільна точка цього околу. Якщо існує границя , то вона називається похідною функції в точці (при ) і позначається , тобто .

Позначимо приріст аргументу і приріст функції в точці через . Одержимо

.

Тобто, похідна функції в точці дорівнює границі відношення приросту функції в точці до приросту аргументу в цій точці при прямуванні приросту аргументу до нуля.

Дата добавления: 2014-11-20