Контрольні запитання. Неокласична задача споживача

Неокласична задача споживача

Поверхнею байдужості називають гіперповерхню розмірності (n-1), на якій корисність постійна U(x)=c=const або має диференційовану форму

.

(1)

Остання умова означає, що дотична до поверхні байдужості перпендикулярна градієнтові корисності. Це свідчить про (з погляду споживача) можливість заміни одного товару певною кількістю іншого (рівноцінного товару).

Нехай у даному співвідношенні (1) dx_i = 0 для i=3,…,n. Тоді воно має вигляд . Звідси , тобто гранична норма заміщення першого товару другим дорівнює відношенню граничної корисності першого та другого товарів. Норма заміщення вказує, скільки необхідно одиниць другого товару, щоб замінити вибулу одиницю першого товару.

Бюджетною множиною називають множину тих наборів товарів, котрі може придбати споживач, маючи дохід обсягом I: I={x: xp £ I}, де p={p₁, p₂, …, p_n} – вектор-рядок цін.

Неокласична задача споживання пов¢язана з раціональним вибором набору благ і послуг споживачем при заданих функції корисності та бюджетному обмеженні.

Якщо функція корисності U(x), є двічі диференційованою і строго ввігнутою, а обмеження має вигляд xp £ I, де p — вектор-стовпець цін, а I — дохід споживача, що може бути використаний на придбання товарів, то раціональна поведінка споживача визначається такою задачею опуклого програмування:

U(x)® max; xp £ I; x ³ 0.

(2) (3) (4)

Оскільки допустима множина розв¢язків для цієї задачі є компактною й опуклою, вона має єдиний розв¢язок x^*.

Необхідні та достатні умови оптимальності розв¢язку x^* задачі (2) – (4) дає теорема Куна-Таккера Визначимо функцію Лагранжа даної задачі

,

де l — множник Лагранжа. Запишемо необхідні умови оптимальності розв¢язку x^* і множника l^*.

(5)

Із наведених умов випливає, що справджуються такі співвідношення:

, причому при ; при .

Таким чином, для закуплених товарів, коли , відношення частинних граничних корисностей до відповідних цін є сталим

.

(6)

Звідси, вважаючи деякі товари купленими, маємо, що оптимальне значення множника Лагранжа , а, отже, згідно із четвертою умовою (5), при оптимальному споживанні весь дохід I має бути витрачений I = x^*×p, тобто розв¢язок задачі лежить на граничній гіперплощині симплексу допустимих значень споживчих наборів.

Без утрати загальності можна вважати, що споживач закуповує всі види товарів (в іншому випадку можна зменшити розмірність простору товарів, вилучивши з розгляду товари, які не купуються). Тоді умови оптимальності (5) набувають вигляду системи рівнянь, що у векторній формі записується так:

.

У координатній формі

; .

Оптимальний множник Лагранжа , який за (6) дорівнює загальному відношенню частинних граничних корисностей для оптимального споживання до відповідних цін, можна інтерпретувати на основі загальної теорії гладких задач математичного програмування як граничну корисність доходу споживача

.

(7)

Позначення указує, що оптимальний розв¢язок задачі поведінки споживача залежить від параметрів p та I. Величину (7) також часто називають граничною корисністю грошей споживача.

Необхідні умови локального екстремуму:

; .

(8)   (9)

З останнього слідує, що споживач за фіксованого доходу так вибирає набір x^*, що в цій точці відношення граничної корисності дорівнює відношенню цін

.

Якщо розв¢язати систему (8) – (9) відносно x^*, отримаємо функцію попиту споживача x^* = x^*(p, I).

1. Які властивості має відношення переваги?

2. Які властивості має функція корисності?

3. Що ми називаємо поверхнею байдужості і які вона має властивості?

4. У чому полягає суть моделі поведінки споживача?

5. Що ми називаємо нормою заміщення першого товару другим? Сутність граничної норми заміщення першого товару другим.

6. У чому полягає сутність граничної норми заміщення першого товару другим?

Дата добавления: 2014-12-08